单调性证明不等式由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“利用单调性证明不等式”。
单调性证明不等式
x证明e≥x＋1.xx证：记K(x)＝e－x－1，则K′(x)＝e－1，当x∈(0，1)时，K′(x)＞0，因此K(x)
在[0，1]上是增函数，故K(x)≥K(0)＝0.1所以f(x)≤1]． 1＋x
证明(1＋x)e≥(1－x)e.－xxx－x证：记h(x)＝(1＋x)e－(1－x)e，则h′(x)＝x(e－e)，当x∈(0，1)时，h′(x)
＞0，因此h(x)在[0，1]上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0.所以f(x)≥1－x，x∈[0，1]．
x21．B12，B14[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝e－ln(x＋m)．
(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.1x21．解：(1)f′(x)＝e.x＋m
由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.1xx于是f(x)＝e－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝e.x＋1
1x函数f′(x)＝e－在(－1，＋∞)单调递增，x＋1
且f′(0)＝0，因此当x∈(－1，0)时，f′(x)0.所以f(x)在(－1，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
(2)证明：当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)>0.1x当m＝2时，函数f′(x)＝e－在(－2，＋∞)单调递增．又f′(－1)0，x＋2
故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1，0)．
当x∈(－2，x0)时，f′(x)0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．
由f′(x0)＝0得
1ex0＝ln(x0＋2)＝－x0，x0＋2
1（x0＋1）故f(x)≥f(x0)＋x0＝>0.x0＋2x0＋2
综上，当m≤2时，f(x)>0.2－xx
