康托尔定理的证明_布列安桑定理证明

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康托尔定理

A是一个集合，那么A的势小于p(A)的势。有限集的情况是显然的。

下面证明无穷集的情况下依然成立。

证明：若要证明A与p(A)不等势。只需证明无法找到A与p(A)的一一对应，即可。

下面的方法列举了A到p(A)的所有对应情况。所用的证明方法就是高中时期所接触到的分类证明。

将f:AP(A)分类。

第一类：∀ a∈A,f(a)中都没有a.第二类：∃a∈A,a∈f(a).第二类又可以分为两种情况，(1).∃a∈A,f(a)中没有a。

（2）.∀ a∈A,f(a)中总是有a。

下面证明：

第一类,因为所有的f(a)中都没有a，所以A∈P(A)将不是A中任何一个元素的象。于是AP(A)无法一一对应.第二类，(1).因为∃a∈A,f(a)中没有a。那么将这些元素组成集合B，则B∈P(A)将不是A中任何一个元素的象。于是AP(A)无法一一对应.(2).因为∀ a∈A,f(a)中总是有a。则：∀ a∈A 有|f(a)|=1.即a{a}b{b}………如若不然，假设k与{k}不对应，那么{k}将不能成为A中任何一个元素的象。

但是如果∀ a∈A 有|f(a)|=1.那么任意P(A)中基数大于1的集合C∈P(A)将不是A中任何一个元素的象。

于是AP(A)无法一一对应.综上所述A与P(A)不等势。