切比雪夫不等式的证明(离散型随机变量)_常用的离散型随机变量

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设随机变量X有数学期望及方差，则对任何正数，下列不等式成立 2

2

PXE(X)2 

证明：设X是离散型随机变量，则事件XE(X)表示随机变量X取得一切满足不等式xiE(X)的可能值xi。设pi表示事件Xxi的概率，按概率加法定理得

PXE(X)

xiE(X)pi

这里和式是对一切满足不等式xiE(X)的xi求和。由于xiE(X)，即xiE(X)22xiE(X)，所以有221。

2xiE(X)又因为上面和式中的每一项都是正数，如果分别乘以2，则和式的值将增大。

于是得到

PXE(X)

xiE(X)pixiE(X)xiE(X)22pi1

2xiE(X)xiE(X)2pi

因为和式中的每一项都是非负数，所以如果扩大求和范围至随机变量X的一切可能值xi求和，则只能增大和式的值。因此

PXE(X)1

2xE(X)i

i2pi

上式和式是对X的一切可能值xi求和，也就是方差的表达式。所以，2

PXE(X)2 