八年级命题与证明(知识点典型例题,动态几何问题)_八上命题与证明例题

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第四章命题与证明

知识回顾：

1一般地，能明确指出概念含义或特征的句子，称为定义。

（定义必须是严密的，诸如“一些”，“大概”，“差不多”等不能在定义中出现）

2.判断一件事情的句子，叫做命题。

命题必须是一个完整的句子，且必须对某件事情作出“是什么”或“不是什么”的判断。正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。（注意：错误的命题也是命题）

3.命题的构成：命题由题设（或条件）和结论两部分构成。

命题表述的标准形式是：“如果„„那么„„”；或“若„„，则„„”

一般地，“如果（若）„„”是题设部分，“那么（则）„„”是结论部分。4公理与定理

公理与定理都是真命题．

经过人们长期实践中总结出来的，并作为判定其他命题真假的依据，这样的真命题叫公理．（公理是不需要证明的基本事实）

从公理或其他真命题出发，通过逻辑推理来判断一个命题是正确的，并可进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫定理．证明：

根据题设的条件以及定义、公理、定理等，经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫证明．反证法与举反例证明假命题

反证法的步骤为：先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理、推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设的不成立，从而得出原结论是正确的．若要证明一个命题为假命题，只要举出一个反例来说明命题不成立即可．

但所举的反例要简单、明确、有说服力．

【典型例题】：

例3.判断下列语句，是不是命题，如果是，请判断它是真命题还是假命题。

（1）画线段AB的中垂线。

（2）两条直线相交，有几个交点？

（3）如果a//b，b//c，那么a//c。

（4）两个角不相等，则它们不是对顶角。

（5）已知一个数能被4整除，这个数一定能被8整除。

（6）同位角相等。

例1.判断下列命题的真伪．如果是假命题，请举出一个反例．

①若a>b，则

1a1

b

②两个锐角的和是个锐角

③同位角相等，两直线平行

④一个角的补角大于这个角

解：①假命题．比如当a＝2，b＝－3时，就有1

21

3．②假命题．比如30°和80°均为锐角，但30°+80°>90°

③真命题．

④假命题．比如：130°的补角是70°，但70°

（注：举反例说明命题为假只需举一个反例即可）

例2.下列各命题中是假命题的是（）A.推理过程叫做证明B.定理都是命题

C.命题都是公理D.公理都是命题 解：C

例6.已知：（如图）MN//PQ，AC⊥PQ，BD、AC相交于点E，且DE＝2AB．

求证：∠DBC＝

3∠ABC．

MDAN

Q

C B

证明：取DE的中点G，连结AG

∵AC⊥PQ MN//PQ（已知）

∴∠CAD＝90°（两直线平行，同旁内角互补）又G为DE中点 ∴AG＝DG＝

2（直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）DE．

∵DE＝2AB

∴AG=AB∴∠ABD＝∠AGB＝2∠ADG=2∠DBC（等腰三角形底角相等，与三角形外角定理）

∴∠DBC＝

∠ABC

例

7、反正法

1证明几何量之间的关系

：已知：四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，EF

2(ABCD)。

求证：AB//CD。

证明：假设AB不平行于CD。如图，连结AC，取AC的中点G，连结EG、FG。∵E、F、G分别是AD、BC、AC的中点，∴GE//CD，GE∵AB不平行于CD，∴GE和GF不共线，GE、GF、EF组成一个三角形。∴GEGFEF① 但GEGF①与②矛盾。

2(ABCD)EF②

CD；GF//AB，GF

12AB。

A

B

∴AB//CD2、证明“唯一性”问题

在几何中需要证明符合某种条件的点、线、面只有一个时，称为“唯一性”问题。

例3：过平面上的点A的直线a，求证：a是唯一的。证明：假设a不是唯一的，则过A至少还有一条直线b，b ∵a、b是相交直线，∴a、b可以确定一个平面。设和相交于过点A的直线c。∵a，b，∴ac，bc。

这样在平面内，过点A就有两条直线垂直于c，这与定理产生矛盾。所以，a是唯一的。

【练习题】

1.判断下列命题是真还是假命题，简要说明理由．

（1）同一个角的邻补角是对顶角

（2）三条直线a，b，c，若a⊥b，c⊥b，则a//c

（3）若延长线段AB，延长射线CD后它们仍不相交，则这条线段与这条射线互相平行（4）点到直线的距离即是点到直线的垂线段（5）若同旁内角不互补，则这两条直线不平行（6）推论是真命题

（7）是9的倍数的数，它一定也是3的倍数（8）若一个数能被5整除，则它一定也能被10整除（9）只有开方开不尽的式子才是二次根式（10）当m≥0时，解不等式mx≥n，得到解集x

nm

6.如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD＝AC求证：∠B＝2∠C．

BDC

*8.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BE＝CE，过点E作GH⊥AD，交AC、以及AD、AB的延长线于H、F、G．

求证：AC＝2BG+AB

A

BDHF

GC

1.（1）√（2）√（3）×（4）×（5）√

（6）√（7）√（8）×（9）×（10）×，理由略

6.提示：延长AB到点E，使BE＝BD，连结ED，证明△AED△ACD8.提示：过B作BN//AC，证明△AGH为等腰三角形，则BG＝BN又证明△BNE△CHE，∴BN＝HC＝BG

∴AC＝AH+HC＝AB+BG+HC＝AB+2BG

八年级下学期几何动态问题

1.已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒．

（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；

（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

2.如图，在Rt△ABC中，A90，AB6，AC8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QR∥BA交

AC于

R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQx，QRy．

B

A M N

（1）求点D到BC的距离DH的长；

（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

x的（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的A

C

H Q

值；若不存在，请说明理由．

3.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。

（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

（3）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD3，DC5，BC10，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．

B

M

C

（1）当MN∥AB时，求t的值；

（2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．