正弦定理的三种证明_正弦定理的几种证明

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△ABC中的三个内角∠A，∠B，∠C的对边，分别用a,b,c表示.正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即

asinA

=

bsinB

=

csinC

A

证明：按照三角形的种类，分三种情形证明之.(1)在RtABC中，如图1-1

sinA=

ac

bc，sinB=

a

=

b

=c

asinA

=

bsinBCDb=asinA

=

csinC

因此，b

c

sinAsinB

有因为sinC=1，所以

C

CDa

a

C

B

（2）在锐角△ABC中，如图1-2 作CDAB于点D，有sinA=因此，bsinA=asinB，即同理可证：

asinA

=

csinC

asinA，sinB=

b，sinB=

b

=

csinC

b

.A

c，故

sinB

（3）在钝角△ABC中，如图1-3

作CDAB，交AB的延长线于点D，则

sinA=

CDb

CDabsinB

B

D，sinABC=sinCBD=

asinA

=

因此，bsinA=asinB，即同理可证：

b

=

c

b

a

sinBsinC

abc

==故 sinAsinBsinC

A

综上所述，在任意的三角形中，正弦定理总是成立.B D

证明：如图所示，圆O是△ABC的外接圆，半径为R

连接AO并延长，交圆O于点D，连接CD，易知，ACD=90，B=D

sinD=AC

AD=b

2R，即sinB=b

2R

因此b

sinB=2R B 同理，延长BO,CO，可证

故

asinAasinA==csinCbsinB==2R csinC=2R 证明：过点B作单位向量jBC，那么就有jACjABjBC

bcos(90C)ccos(90B)0bsinCA

b

sinB

acsinC

b，b同理有故asinA=sinB=。csinAsinBsinC

B

C

【小技巧】

根据几何图形确定向量夹角的方法：

如果两个向量所在之间直线相交，或通过平移一个向量而相交，那么

（1）向量夹角为锐角，很容易判断；

（2）向量夹角为钝角时，可以先判断锐角，再取补角

例如：

确定向量j与向量AB的夹角时，由于是钝角，先确定向量j与向量BA的夹角为90B，再求补角，即为90B

ACj确定向量与向量的夹角时，先平移j，同上可得，夹角为90C