九年级数学复习题型教学设计_数学复习课教学设计

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九年级数学复习题型教学设计 惠阳区第一中学

张美静

以人教版八年级数学上册P120

习题14.2第9题为内容的课例：

题为：点P（x，y）在第一象限，且x+y=8，点A（6，0）。设△OPA的面积为S。（1）用含x的解析式表示S；写出x的取值范围，画出函数S 的图象。（2）当点 P的横坐标为5时，△OPA的面积为多少？（3）△OPA的面积能大于24吗？为什么？

原题分析：原题体现了课程标准中“一次函数的学习目标”，以探索问题中的数量关系和变化规律为背景，经历运用函数模型解决实际问题的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型。基于上述学习目标，结合“问题”，首先需要对计算△OPA的面积S时涉及到的量进行分析研究，运用数形结合思想，作出草图：

(1)即可得到：OA6，OA边上的高就是点P的纵坐标y.…………1分11故S△OPA=OAy6（8x）=-3x24…………………………2分22点P在第一象限内x0,y0.8x0，即0x8.……………………………………………3分(2)如图所示，其图像就是一条线段，且不包含线段的两个端点。当x5时，S=9……………………………………………………4分（3）S=-3x243x24S………………………………………………………5分又0x80S>0，故△OPA的面积不能大于24.（7分）反思：从上面的分析过程可以看出，利用一次函数的性质解决问题，需要结合函数的增减性，把问题转化为不等式问题来解决，这是一种最常用的思维方式方法，应引起我们足够的重视。

二、变式题：

已知：如图，点P（x，y）是第一象限内的动点，且x+y=10，（1）如果PA⊥x轴于A，PB⊥y轴于B，记四边形OAPB的面积为S，求S与x的函

数关系式，并写自变量x的取值范围？当四边形OAPB的面积取最大值时，指出点P的位置；

（2）设OP2=T，试写出T与x的函数关系，并指出当x为何值时，T有最小值，最小值是多少？（3）设点Q（8，n）在直线x+y=10上，则x取何值时，∠POQ=45°？（4）若M是线段OC上的动点，且∠OPM=45°，试求OM的取值范围？

图1

图3

图2

图4 ①变式的目的：在于将一次函数与二次函数相结合，使学生对函数的理解更深刻；将函数问题与勾股定理相结合，突出“用数学”的思想；将函数问题与几何中的相似形问题相结合，有效整合相关知识点，提高学生分析问题和解决问题的能力；将数形结合的思想渗透到平时的解题教学过程中，让学生感悟、捕捉思维的火花，领会数形结合的真谛。

②解答过程：

（1）如图1，易知SOAAPxyx(10x)P(x,y)是第一象限内的动点x0,y0.即10x00x10………………………………………………………………1分Sx(10x)x210x(x5)225……………………………2分即当x=5时，四边形的最大面积为25，点P位于线段CD的中点。…3分

（2）如图2，连接OP，根据勾股定理： OP2OA2PA2x2y2x2(10x)2 4分 T=2x220x100(0x10)即 T=2(x5)250 5分 当x=5时，T有最小值，最小值为50.…………………6分

（3）如图3所示，设直线xy10与x轴、y轴交于点C、D，点Q（8，n）在直线CD上n2,即Q（8,2）…………………………………………7分由已知条件可得：DCO=45当POQ=45时，易证得POQ∽PCOPO2PQPC.过点Q作QEx轴于点E，过点P作PFy轴于点F,于是由勾股定理，得 CQ=22,PD2x，CD=102PQ=CD-PD-CQ=102222x=822x PC=CDPD1022x…………………………………………8分由（2）可知OP2=2x220x1002x220x100=（822x）（1022x）整理，解之，得x=即当x=154

15时，POD=45。…………………………………………9分4（4）如图4，由已知条件可知：OPM=DCO=45。△OPM∽△OCP.PO2OMOC…………………………………………10分由（3）可得OP2=2x220x100，且OC10OP2x20x10012(x10x50)OC10512 =（x5）5……………11分5OM的最小值为5OM故OM的取值范围是： 5≤OM＜10.12分

③变式说明：

改编命题时要注意问题的梯度和难度，并结合学生的实际情况，明确要整合的知识点，使学生能“跳一跳，够得着”。本题渗透了函数思想、方程思想、数形结合思想、不等式思想。其中函数思想贯穿于本题的方方面面。在运用函各种思想的同时，要研究图中各几何元素之间的关系。不等式思想的运用主要体现在求函数自变量取值范围时方便、准确。方程思想的应用，主要体现在各几何元素之间的关系所化归出来的关系式中。虽然说，几何计算有难度，但是只要转化得法，思维方向正确，经过认真思考，还是可以达成目标的。

由于问题1中，四边形OAPB的面积S与x的函数关系是由y与x之间的函数关系过渡过来的函数关系，在今后的学习中还会遇到很多这样的情形，要引起我们的重视。问题4中涉及到求OM的取值范围是一个难点。通过分析，我们看出，利用二次函数的最值来判定OM的取值范围，方法灵活，出手不凡。只要能求出线段OM的长x的函数关系，思路是不难确定的。因为思想的价值在于能指导行动。一个人的解题行为能较准确地反映出他所具有的数学思想和对数学思想的领悟能力。那么OM的长度为什么不能等于10呢？从图象上观察并结合题设，知0

令OM=10，则1/5（x2-10 x+50）=10，∴

x2-10 x=0，得

x1=0，x2=10，又

0

∴

OM≠10，故，5≤OM

每向前走一步，我们必须小心翼翼，如履薄冰，努力做到步步有依据，不留疑惑，才能走的正确。

针对教材中的典型题目，我们一定要注重它的变式应用和改编应用。在很多似曾相识的中考题中，我们总能找到课本例、习题的身影，所以，我们平时的教学要力争与中考接轨，以提高学生分析能力和解题能力为着力点，促进相关知识的有效整合，探索命题规律，以便使我们的教学更适合学情。本题中的计算量比较大，这也从另一方面考查了学生的计算能力，因此它不失为一道好题。

让思维转场——问题1是用函数观点来处理，问题2中题设给我们以启发。一般情况下，如果条件中有线段关于某线段的平方关系，即提醒我们首先联想到勾股定理或成比例线段中有关比例中项等内容，再结合图形，不难想到PO2与点P的横、纵坐标之间的关系。事实上，T与x的函数关系也是由y与x的函数关系得到的。这时，我们的思维就从函数关系转到几何元素关系，再转到函数关系上，完成了一次思维转换。解决问题3，应当单独画出符合条件的几何图形，寻找关系和突破口，得出结论，完成第二次思维转换。在解决了问题3的基础上，比较问题4中的条件、结论、图形，解决问题3的思路、方法就得以有效迁移，思维又一次转场。从整个解题过程可以看出，问题的设置层层递进，后一个问题的解决往往依赖于前一个问题的解决，几个问题之间联系紧凑，思维步步拔高，引人入胜；动静结合，数形互补，体现了新课标的新理念。