长沙市一中教案_高二理科数学《1.1.2导数的概念》_长沙市一中高二数学

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§1.1.2导数的概念

教学目标：

1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 3．会求函数在某点的导数

教学重点：

瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；

教学难点： 导数的概念．

教学过程：

一．创设情景

问题1：什么是平均变化率？ 二．新课讲授 1．瞬时速度

问题2：什么是瞬时速度？

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 问题3：平均速度能反映瞬时速度吗？

运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度。

问题4：如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t2时的瞬时速度是多少？考察t2附近的情况：

思考：当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？

结论：当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v都趋近于一个确定的值13.1．

从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于运动员的瞬时速度，因此，运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s

h(2t)h(2)13.1

t0t表示“当t2，t趋近于0时，平均速度v趋近于定值13.1” 为了表述方便，我们用lim小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。导数的概念

从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: f(x0x)f(x0)flim

x0x0xx我们称它为函数yf(x)在xx0出的导数，记作f'(x0)或y'|xx0，即 lim

f(x0)limx0f(x0x)f(x0)

x说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率

（2）xxx0，当x0时，xx0，所以f(x0)lim三．典例分析

2例1．（1）求函数y=3x在x=1处的导数.2分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)

再求

x0f(x)f(x0)

xx0ff6x再求lim6

x0xx解：法一 定义法（略）

3x23123(x212)limlim3(x1)6

法二：y|x1limx1x1x1x1x12（2）求函数f(x)=xx在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

y(1x)2(1x)23x 解：xxy(1x)2(1x)2lim(3x) f(1)limx0xx0x例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行

2冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为f(x)x7x15(0x8)，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f(2)和f(6)

''f(2x)f(x0)f xx(2x)27(2x)15(227215)x3

xflim(x3)3 所以f(2)limx0xx0同理可得:f(6)5

在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5C/h的速率上升． 根据导数定义，注：一般地，f(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况． '例3利用导数的定义求y1在xx0处的导数.x四．课堂练习

1．质点运动规律为st3，求质点在t3的瞬时速度为． 2．求曲线y=f(x)=x3在x1时的导数．

3．例2中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 五．回顾总结

1．瞬时速度、瞬时变化率的概念 2．导数的概念 六．布置作业 《习案》作业二 2