数学：3.1.2《比较大小》教案(北师大版必修5)_北师大数学必修全教案

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§1.2 比 较 大 小 教 案

【教学目标】

（1）【知识与技能目标】

通过回忆初中内容，用实数的基本理论来比较两个代数式的大小；掌握作差比较大小的基本步骤，并且能灵活的应用来解决一些实际生活问题。（2）【过程方法目标】

通过本节学习，强化转化思想、数形结合思想的运用。（3）【情感、态度与价值观目标】

通过本节学习，激发学生探究数学问题的欲望，体会数学的奥妙与数学式子的结构美、对称美，从而激发学生的学习兴趣。

【教学重点】比较大小的基本步骤及其应用。

【教学难点】准确理解实数运算的符号法则及一些代数式的恒等变形。【教学过程】

1、【创设情景】

大家先看右图，这两个人谁更漂亮？请说说你们的理由？

左边这个人再用动画展示一下，让学生从动画中发现人的身材是否匀称，其中有一关键点是比例问题。然后再给出问题的理论依据。

【理论依据】一般的人，下半身长与全身长的比值在0.57~0.60之间，当这个比值越接近黄金分割值0.618时人的身材就越好。

2、【探究发现】

【探究1】为什么芭蕾舞演员在表演时，脚尖立起来给人以美的享受？ 大家能不能结合上述理论依据猜想一下理由？河南教考资源信息网

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问：实际生活中，我们想追求这种美，有没有什么简单有效果办法？（穿高跟鞋）问：上述方法都是我们的猜想，能不能用数学知识来证明？

这是一个实际问题，要用数学知识证明，必须先建立数学模型，就以穿高跟鞋为例。已知某人下半身长为a(cm)，全身长为b(cm)，请问这个人穿上m(cm)的高跟鞋后，下半身长与全身长的比值会增加吗？

分析：没穿高跟鞋时的比值为

aamama，穿高跟鞋之后的比值为，只要比较与bbmbmb的大小关系。

这个问题涉及到不等式知识，我们先来复习回顾不等式的的知识。【不等式的性质】：①若a②若a③若a④若ab，则acbc b，c0，则acbc b，c0，则acbc

b，bc，则ac（传递性）

0.2注：不等式的传递性有很重要的作用，比如：比较x2以找中间数0，其中x0,y0，xy 【两个实数如何比较大小】

ab0abab0ab ab0ab比较大小常用它们的差ab与0的大小关系来确定 我们再回到上述问题，解答如下：

解：∵ 0ab,m0

amamba0

bmbbbmama bmb，ylog21的大小。我们可3 2 河南教考资源信息网

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所以，穿上高跟鞋后，下半身长与全身长的比值会变大；穿上适当的高跟鞋可以使人的下半身长与全身长的比值接近黄金分割值，从而使得人更漂亮了。这也是女士们为什么喜欢穿高跟鞋的原因。

其实艺术史上早就有这样的例子，古希腊维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗塑像都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美之神话。

【归纳小结】

1、比较大小的基本步骤：作差→变形→判断符号→下结论。

2、一般地，设a,b为正实数，且ab,m0，则有

ama bmb【探究2】日常生活中，还有哪些实例满足上述不等式？

（1）建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积。但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好。试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由。

通过上述两张图让学生从视觉上理解课本例7所要表达的效果。（2）糖水中加糖，糖水变甜。河南教考资源信息网

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3、【例题讲解】

【例1】试比较x1x5与x3的大小

2解：由于x1x5x3

2x26x5x26x940

∴ x1x5x3

23322【练习1】已知0ab，试比较ab与abab的大小。解：a3b3ab2a2baba2abb2abba aba22abb2

abab

20ab,ab0,ab0

2abab0 2a3b3ab2a2b

2【练习2】设axx，bx2，则a与b的大小关系为（）

A、ab

B、ab

C、ab

D、与x有关 解：abx2xx2x22x2x110

2ab

【归纳小结】“变形”是作差比较大小的关键，“变形”的目的在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少。

“变形”的常用方法有通分、因式分解、配方等。

4、【知识应用】

【例】甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为t1、t2，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，且m≠n。试判断甲、乙谁先到达B地。

解：设甲、乙所用的时间分别为t1、t2，从A地到B地的路程为S，则

t1t2sm1nt1 22mn乙：t2 2m2n甲：s 4 河南教考资源信息网

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t1t22s

mn2m2m2mn mn2mn24smnsmn 2mnmnsmn 2mnmn2m0,n0,s0,mn

smn0 2mnmn2t1t2

故甲比乙先到B地

【练习】两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食，两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同。其中，甲每次购买1000kg，乙每次购粮用去1000元钱，谁的购粮方式更合算？

解：设前后两次粮食的价格分别为x1、x2，甲、乙两人购粮的平均价格为y1、y2 y11000x11000x2x1x2

20002y22x1x22000

10001000x1x2x1x22xx2 xx22x1x2y1y2112x1x22x1x22x1x2x1x20

2x1x2y1y2

故乙的购粮方式更合算河南教考资源信息网

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5、【知识小结】

1、比较大小

（1）步

骤：作差→变形→判断符号→下结论。

（2）关键点：变形是比较大小的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不

必考虑差的值是多少。常用方法有通分、因式分解、配方等。

2、一般地，设a,b为正实数，且ab,m0，则有

ama bmb3、应

用：灵活地应用比较大小的知识来解决实际生活中的问题。

6、【作业布置】

y21、已知x,yR,P2xy3,Q2x，试比较P，Q的大小。

422222222、已知abc，试比较Aabbcca与Babbcca的大小。

3、对于同样的距离，船在静水中来回行驶一次所花的时间与在流水中来回行驶一次所花的时间是否相等？请说明理由。（船在静水中的速度与在流水中的速度一致）