03章动量角动量教案04_03式自动步枪讲解教案

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第三章 动量和角动量守恒 1．教学目标和基本要求：

(1)掌握动量、冲量概念。掌握质点的动量定理，并能用以分析、解决质点在平面内运动时的简单力学问题。

(2)理解质点系动量定理。掌握动量守恒定律以及适用条件。掌握运用动量守恒定律分析问题的思想和方法，能分析简单系统在平面内运动的力学问题。（3）理解质点的角动量概念，理解力矩、力矩的冲量矩概念。理解质点系角动量定理。

（4）理解角动量守恒定律及其适用条件。能应用角动量守恒定律分析、计算有关问题。2．教学内容：

§3–1 质点的动量定理

§3-2 质点系的动量定理 §3-3 动量守恒定律

§3-4 角动量 质点的角动量定理 §3-5 角动量守恒定律

§3-6 质点系的角动量定理 学时：4学时；

3．教学重点：建立动量、角动量的概念。掌握力的冲量与动量的变化量的关系。理解力矩的冲量矩与角动量的变化量的关系。掌握动量守恒定律以及适用条件。理解角动量守恒定律及其适用条件。

教学难点：动量、动量定理、动量守恒定律的矢量性。建立角动量的概念。角动量、角动量定理、角动量守恒定律的矢量性。

4，教学内容的深化和拓宽：动量守恒定律与牛顿运动定律的关系。5．教学方式：课堂教学。

6．主要参考书：唐南 王佳眉主编《大学物理学》，高等教育出版社，2003。

第一单元

第三章 动量和角动量

§3–1 质点的动量定理

1.质点的动量

P=mv

2.质点的动量定理的微分形式 F

质点的动量定理的积分形式

3.力的冲量是力对时间的累积

力在dt时间内的微冲量

dIFdt 力在t1~t2时间内的冲量

IdP

或 FdtdP dtt2t1FdtP1P2dPP2P1

t2t1FdtP2P1

p1 I I、P1、P2满足矢量关系，在几何图形上构成闭合的三角形。在F~t曲线图中，冲量就是冲力曲线与横轴之间的面积，4.质点动量定理的分量形式:

p2 1 I2xttFxdtPx2Px

1I2y Iz1ttFydtPy2Py1

1t2tFzdtPz2Pz1

15.平均冲力 ttFdtF1I

tt21t

§3-2 质点系的动量定理

1．由若干个质点组成的系统简称为质点系。质点系中各质点受到的系统外的物体对它们的作用力称为外力，质点系中各质点彼此之间的相互作用力称为内力。

2．质点系的动量定理(微分形式)对i质点应用质点的动量定理：

FdPiiF外iF内idt 对质点系中n个质点求和：

FdPi外ii iF内iidt内力总是以作用力和反作用力的形式成对出现，求和的结果等于零，故

FdP外dt

即：质点系所受的合外力等于质点系动量对时间的变化率。

3．质点系的动量定理(积分形式)当力持续作用一段时间后，质点系动量变化的规律为

P2tF外dtPdPP2P1

1tF外dt称为t时间内质点系受到的合外力的冲量，用I外表示，P1和P2是质点系初态和末态时的动量，所以有

I外P2P1 即：在某段时间内，质点系受到的合外力的冲量等于质点系(总)动量的增量。

4．对质点系而言，内力不改变系统的总动量，内力使动量在系统内转移和交换。只有外力改变系统的总动量。

例3.1 质量m=1.0kg的小球以初速率v0=20.0m/s沿水平方向抛出，求一秒钟之后小球速度的大小和方向(不计空气阻力)。

解

此题可用动量定理求解。小球抛出时的初动量P1mv020kgm/s，沿水平方向，一秒钟之内小球所受重力的冲量Imgt9.8Ns，方向竖直向下。根据(3-4)式的矢量关系可作图如图3-3，则一秒钟后动量P2的大小为

P2P12I2(20)2(9.8)222.3kgm/s 速度大小为

vP2m22.3m/s

(3-5)

(3-6)

(3-7)

y p1 m v v0  I p2

1 2 x

例3.1图

例3.2图

O 速度方向为

arctanI9.8arctan()26.1 P20例3.2 如图所示，质量m=0.15kg的小球以v0=10m/s的速度射向光滑地面，入射角130，然后沿260的反射角方向弹出。设碰撞时间t0.01s，计算小球对地面的平均冲力。

解

因为地面光滑，地面对小球的冲力沿法线方向竖直向上，水平方向小球不受作用力。设地面对小球的平均冲力为F，碰后小球速度为v。建立坐标如图，根据质点的动量定理有

由此得

代入数据

F0.15100.01320.159.8175N

Fvv0sin1 sin2Ix0mvsin2mv0sin1

Iy(Fmg)tmvcos2(mv0cos1)

mv0sin(12)mg

tsin2小球对地面的平均冲力就是F的反作用力。在本题中考虑了重力的作用，事实上重力mg0.159.81.47N，不到F的1%，因此完全可以忽略不计。

例3.3 木板B静止置于水平台面上，小木块A放在B板的一端上，如图所示。已知mA=0.25kg，mB=0.75kg，小木块A与木板B之间的摩擦因数10.5，木板B与台面间的摩擦因数20.1。现在给小木块A一向右的水平初速度v0=40m/s，B恰好具有相同的速度？(设问经过多长时间A、B板足够长.)

解

当小木块A以初速度v0向右开始运动时，它将受到木板B的摩擦阻力的作用，木板B则在A给予的摩擦力及台面给予的摩擦力的共同作用下向右运动。如果将木板B与小木块A视为一个质点系统，A、B之间的摩擦力就是内力，不改变系统的总动量，只有台面与木板B之间的摩擦力Fk才是系统所受的外力，改变系统的总动量。设经过t时间A、B具有相同的速度

A v0 B v，则根据质点系的动量定理有

以及

Frt(mAmB)vmAv0

k 得：

Fr2(mAmB)g

kv(mA1v02)

mAmB12再对小木块A单独予以考虑，A受到B给予的摩擦阻力Frk，应用质点的动量定理

FrktmAvmAv0

以及

Frk1mAg

解得：

tv0v1g 代入有关数据，最后得出

v2.5m/s，t7.65s

§3-3 动量守恒定律

一 动量守恒定律

如果质点系所受的合外力为零，质点系的动量将保持不变，即

F外0

Pmivi恒矢量i

称为动量守恒定律，又可以表述为：封闭系统的动量保持不变。

正确理解和正确运用动量守恒定律应注意的问题： 1． 动量守恒是指质点系总动量不变，mivi恒矢量。质点系中各质点的动量是可

i以变化的，质点通过内力的作用交换动量。

2．真实系统与外界或多或少地存在着某些作用，当质点系内部的作用远远大于外力（F内>>F外），或者外力不太大而作用时间很短促，以致形成的冲量很小的时候，可以忽略外力的效果，近似地应用动量守恒定律，这是实际中最常见的情况。动量守恒定律的分量形式为：

若：Fx0，则：mivix常量i 若：Fy0，则：miviy常量i 若：Fz0，则：miviz常量i

合外力在哪一个坐标轴上的分量为零，质点系总动量在该方向上的分量就是一个守恒量。分量守恒所提供的方程，常常成为求解问题的必不可少的条件。二

碰撞过程中的动量守恒现象

碰撞泛指强烈而短暂的相互作用过程。若将碰撞中的诸物体看作一个系统，碰撞过程的表现是内力作用强，通常情况下满足F内F外，且作用时间短暂，外力的冲量一般可以

(3-3-1)忽略不计，因此动量守恒是一般碰撞过程的共同特点。

碰撞可以分为三类：

(1)完全弹性碰撞。碰撞后二体分开，系统动量守恒，机械能守恒（表现为系统的总动能不变）。

(2)非完全弹性碰撞。碰撞后二体分开，系统动量守恒（机械能不守恒）。(2)完全非弹性碰撞。碰撞后二体合一，系统动量守恒（机械能不守恒）。

例3.4 质量为m1的小球A以速度v0沿x轴正方向运动，与另一质量为m2的静止小球B在水平面内碰撞，碰后A沿y轴正方向运动，B的运动方向与x轴成角，如图所示。

(1)求碰撞后A的速率v1和B的速率v2；

(2)设碰撞的接触时间为t，求A受到的平均冲力。

解

(1)以A、B两球构成系统，合外力为零，系统的动量守恒。建立坐标如图3-6，应用动量守恒定律的分量形式：

x方向 y方向 联立上二式，得

v1v0tanm2v2cosm1v0 m1v1m2v2sin0

v2m1v0 m2cos(2)以小球A为研究对象，由质点的动量定理 x方向 y方向 所以F的大小为

FFxm1v1xm1v0xmv10

ttm1v1ym1v0ymvFy11

ttF(Fx)2(Fy)2(m1v02m1v12m1)()v02v12 tttFyFx与x轴的夹角

arctanarctan(v1)v0

O m2 v0 例3.5 图所示，一轻绳悬挂质量为m1的砂袋静止下垂，质量为m2的子弹以速度v0倾斜角射入砂袋中不再出来，求子弹与砂袋一同开始运动时的速度。

解

在子弹弹射入砂袋的过程中以子弹和砂袋构成一系统，竖直方向上受重力(可忽略)和绳的冲力(不可忽略)的作用，动量的袋以共同速度v开始运动。

得

vm2sinv0 m1m2m2v0sin(m1m2)v m1

例3.5图

竖直分量不守恒。在水平方向上系统不受外力作用，动量的水平分量守恒。设碰后子弹与砂

例3.6 小游船靠岸的时候速度已几乎减为零，坐在船上远离岸一端的一位游客站起来 5 走向船近岸的一端准备上岸，设游人体重m1=50kg，小游船重m2=100kg，小游船长L=5m，问游人能否一步跨上岸。(水的阻力不计)解

作示意图，将游客与游船视作一个系统，该系统水平方向不受外力作用，动量守恒。设游客速度为v1，游船速度为v2，则有

m1v1m2v20

把上式对过程积分得

m1v1dtmvdt0tt22

即

m1x1m2x20

(1)其中x1v1dtt，x2v2dtt分别为游客和游船对岸位移。按相对运动的位移关系

x1x12x2

注意到游客对游船的位移等于游船的长度 x12L，故有

x1Lx联立求解(1)、(2)两式，可得游客对岸的位移

xm12mmL10010053.33m1250

游船对岸的位移

xm21mmL5051.67m1250100

v1 m1 m2

x2 x1 例3.6用图

负号表示游船在后退。游船对岸后退了1.67米，可见游客要想一步跨上岸是很困难的，最好用缆绳先将船固定住，游人再登陆上岸。

习题： 3.1, 3.3, 3.7, 3.9, 3.12

第二单元

(2)

§3-4 角动量

质点的角动量定理

一

质点的角动量L

1．角动量是描述物体机械运动的重要物理量，在涉及到一个物体的转动的时候，运用角动量的概念往往比用动量的概念更为方便。

质点相对于O点的角动量为：

LrPrmv

r m A L v 

角动量等于质点对O点的矢径与动量的矢积。

2．角动量的大小根据矢积计算规则为

LrPsinmrvsin

图3-9 质点对O点的角动量L

角动量的方向由矢积方向的右手定则确定。3．角动量必须针对某一确定的O点。二．力矩M

1．力矩定义为：力的作用点的矢径r与力F的矢积

MrF

力矩的大小

MrFsinFd

力矩的方向由右手定则确定。2．力矩的冲量矩是力矩对时间的累积

力矩在dt时间内的微冲量矩

M外dt

力矩在t1~t2时间内的冲量矩

三． 质点的角动量定理

1．角动量定理的微分形式：质点受到的合外力矩等于质点角动量对时间的变化率。

dLM外

dt2．角动量定理的积分形式：在一个过程中，质点受到的合外力矩的冲量矩等于质点角

t2t1M外dt

动量的增量。

t2t1M外dtL2L1dLL2L1

3．力矩与角动量必须对同一参考点。

§3-5 角动量守恒定律

1.角动量守恒定律

如果作用在质点上的外力对参考点O形成的合外力矩等于零，质点对该参考点的角动量守恒，即

2.角动量守恒定律成立的条件是质点所受的合外力矩为零。合外力矩为零有两种实现

若：M外0 则：LrP恒矢量 的可能，(1)质点所受的合外力为零，则合外力矩为零。（2）外力F外0，但力与作用点的矢径在同一直线上，力臂为零，故力矩亦为零。这类情况在有心力场诸如万有引力场、点电荷的库仑场中是常见的。

3．角动量是矢量，角动量守恒要求角动量的大小不变，方向也不变。地球绕太阳运行或人造地球卫星绕地球运转时的轨道平面方位不变即是这种情况。

4．角动量守恒的分量形式为：

Mz0，Lz常量

z是过参考点O的z轴，Mz是合外力矩在z轴上的分量，也称作对z轴的力矩，Lz是角动量沿z轴的分量。上式说明，合外力矩沿某一轴的分量(对某一轴的力矩)为零，角动量沿该轴的分量就守恒。

2411例3.7 已知地球的质量m=6.010kg，地球与太阳的中心距离r=1.510m，若近似4认为地球绕太阳作匀速率圆周运动，v=310m/s，求地球对太阳中心的角动量。

解

作示意图如图，O点为太阳中心，地球对太阳中心的角动量Lrmv。因为r与v垂直， 2，故角动量的大小为

Lrmvsin112rmv24

3102.710kgm/s44021.5106.010在图示的情况下L垂直于r、v构成的平面，方向向上。

L v O

O r m d m v l



例3.6图

例3.8图

由此例可见，对于做圆周运动的质点，由于矢径r与速度v时时都彼此垂直，故质点对圆心O的角动量的大小L=mrv。如果是做匀速率圆周运动，角动量的大小是一常量。

例3.8 一质点以速度v沿l方向作直线运动，求质点对直线外一点O的角动量。已知质点质量m，O点到直线的垂直距离为d。

解

设任一时刻质点到O点的矢径为r，如图所示，质点角动量的大小为

Lrmvsinmvd

d为O点到直线l的垂直距离，也是O点到速度v(或动量P)矢量的延长线的垂直距离，可以称为动量臂，因此角动量的大小也可以表示为动量与动量臂的乘积

定的，是一个守恒量。

例3.9 我国第一颗人造地球卫星“东方红”绕地球运行的轨道为一椭圆，地球在椭圆

66的一个焦点上，卫星在近地点和远地点时距地心分别为r1=6.82×10m和r2=8.76×10m，在3近地点时的速度v1=8.1×10m/s，求卫星在远地点时的速度v2。

LPd。

在此例中，若质点作匀速直线运动，任意时刻质点对O点的角动量的大小和方向都是恒 8 解

作示意图如图，卫星在轨道上任一处受地球的引力始终指向地心，引力对地心的力矩为零，因此卫星对地心的角动量守恒，在近地点的角动量等于在远地点的角动量，设卫星质量为m，在近地点：L1mr1v1 在远地点：L2mr2v2 角动量守恒：L1L2

v2r16.82106v18.311036.3103m/s 6r28.7610v2 0 r0 m r1 r2

v1 例3.9图

例3.10图

在本例中，卫星受到地球的引力作用，引力的冲量要改变卫星的动量，动量是不守恒的。但是引力对地心的力矩为零，卫星对地心的角动量守恒，这就显示出了在这一类问题的处理中角动量守恒不能被替代和忽视的重要性。事实上，角动量这个概念和角动量守恒定律正是在物理学不断发展的过程中，逐步被人们确认为是最重要的概念和最基本的规律之一的。

例3.10 光滑水平台面上有一质量为m的物体拴在轻绳一端，轻绳的另一端穿过台面上的小孔被一只手拉紧，并使物体以初始角速度0作半径为r0的圆周运动，如图所示。现在，手拉着绳以匀速率v向下运动，使半径逐渐减小，求半径减小为r时物体的角速度；若以向下开始拉动时为计时起点(t=0)，求角速度与时间的关系(t)。

解

在水平方向上，物体m只受绳的拉力作用，拉力对小孔的力矩为零，物体对小孔的角动量守恒。

考虑到v0r00，vr，应有

所以

再按题意，rr0vt，代入上式

r02(r0vt)20

mrvmr0v0

mr2mr020

r02r20

例3.11 用角动量守恒定律再解例3.5。

解

在子弹射入砂袋的过程中，将子弹和砂袋视为一个系统，除二者碰撞的内力外，属于外力的重力及绳的拉力对绳的悬挂点O都不形成力矩，故系统的角动量守恒。

所以

m2v0lsin(m1m2)vl

与例3.5的结果一致。

vm2v0sin m1m2§3-6 质点系的角动量定理

教学思路：对单个质点应用质点的角动量定理，然后对质点系求和。1．质点系的角动量为系统中各质点对同一参考点的角动量的矢量和：

LLirimiviii

2．作用于质点系各质点的力可以分为外力和内力。外力形成外力矩，内力形成内力矩，合力矩为外力矩和内力矩(对同一参考点)的矢量和。

3．对质点系中第i个质点，应用质点的角动量定理

MdLiiM外iM内idt

求和：

MiM外iM内iiiidLidt i对整个系统而言M内i0，故

i

M外dLdt 质点系的角动量定理（微分形式）：作用于质点系的合外力矩等于质点系对同一参考点的角动量对时间的变化率。

4．质点角动量定理的积分形式：

t2ML2t外dtL2L1

1LdL1合外力矩的冲量矩等于角动量的增量。

5．合外力矩改变系统的角动量，内力矩不改变系统的角动量。内力矩作用是在系统内各质点间彼此交换角动量，这个规律与质点系的动量定理相似。

6．质点系的角动量守恒定律：如果作用于质点系的合外力矩为零，质点系的角动量守恒，即：

若：M外0

则：LLi恒矢量i

(3-17)

(3-18)

(3-19)

例3.12 长为a的轻质细杆可在光滑水平面上绕过中心的竖直轴转动，细杆的两端分别固定质量为m1和m2的小球，且静止不动。有一质量为m3的小粘性泥团以水平速度v0且与杆成角的方向射向m2，并且粘在m2上，如图所示，设m1m2m3，求杆开始旋转时的角速度。

m2和m3设想为一个质点系，解

将三个质点m1、在m3与m2碰撞的过程中，只有轴O对系统有作用，轴的作用力对轴自身的力矩显然为零，所以系统对O轴角动量守恒。碰前m1和m2静止，系统角动量L0r2m3v0sinv1 m1 r1  m3 v0 O

 m2 r2 v2，碰后三个质点都在运动并且有相同

r2m3v0sinr1m1v1r2m2v2r2m3v3

例3.12图的角速度，系统角动量Lr1m1v1r2m2v2r2m3v3。按角动量守恒L0L，故应有

由于r1r2 aa，m1m2m3，v1v2v3，可以解出： 222v0sin

3a值得注意的是在m3与m2碰撞的过程中，由于轴O上存在着冲力(外力)，系统的动量不守恒，但对O轴的合外力矩为零，故对O轴的角动量才是守恒量。

习题： 3.15, 3.16, 3.17, 3.18