苏教版高中数学必修2教案立体几何初步第9课时平行直线(二)_必修二立体几何教案

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第9课时平行直线

（二）教学目标：

使学生了解并掌握等角定理及其推论；通过对等角定理证题思路的分析，帮助同学进一步熟悉分析法、综合法，提高同学的解题能力；会应用等角定理及其推论证明简单的几何问题；使学生认识事物之间的相似性和变异性，培养学生科学的严谨态度。教学重点、难点：

等角定理及其推论.等角定理解决了角在空间中的平移问题，在平移变换下，角的大小不变.它是两条异面直线所成角的依据，也是以后研究二面角及与角有关的内容的理论基础，而且还提供了一个研究角之间关系的重要方法——平移法。

教学过程：

1．复习回顾：

［师］上节课我们讨论了空间两条直线的位置关系和平行公理，请同学们回忆一下，空间两条直线的位置关系有几种，其特征各是什么？平行公理的具体内容是怎样的？ ［生甲］空间两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、异面，它们各自的特征是：相交直线——有且仅有一个公共点；平行直线——在同平面内，没有公共点；异面直线——不同在任何一个平面内或既不相交又不平行的两条直线.［生乙］平行公理是：平行于第三条直线的两条直线互相平行.［师］好！同学们的回答完全正确.我们来看这样一个问题：

（如图）在正方体AC1中，求证BC1 ∥ AD1.＝

分析：要想证明BC1 ∥ AD1，只要证明—— ＝

［生］只要证明四边形ABC1D1是平行四边形就

行了.（学生若答不出来，教师可做必要的提示、诱导）.［师］怎样证明四边形ABC1D1是平行四边形呢？

［生］只要证明C1D1 ∥ AB就行了.＝

［师］怎样证明C1D1 ∥ AB呢？ ＝

［生］因为C1D1 ∥ A1B1,AB ∥ A1B1，由平行公理C1D1 ∥ AB.＝＝＝

［师］至此，我们找到了证明的思路，请一位同学在黑板上写出证明过程，其余同学在下面自己整理，写出证明.A1B1 C1D1 ∥＝证明： C1D1 ∥ AB四边形ABC1D1是平行四边形BC1 ∥ ADAB ∥ A1B1＝＝＝

［师］通过刚才的分析与证明，我们是否可类似地说正方体中AB1 ∥ DC1呢？ ＝

［生］（观察，答）可以.［师］为什么？

［生］道理与刚才的证明相同.［师］可不可以说，正方体相对两个面上的同向或逆向的两条对角线平行且相等呢？ ［生］可以.［师］大家再观察一下，正方体上的哪些棱是平行且相等的呢？

［生］„„（让学生答一答是有好处的）.［师］到今天为止，我们学习立体几何已有好几天了，大家是否想过：直线有长短吗？平面有大小吗？

［生］直线没有长短，它是向两个方向无限伸长的，平面没有大小，它是向四面无限扩展的.［师］直线不仅没有长短，而且没有粗细；平面不仅没有大小，而且没有厚薄，同样的点没有大小.大家再考虑一下，确定一条直线的条件是什么？确定一个平面的条件是什么？

［生］两点确定一条直线；不在同一直线上的三点确定一个平面，直线与它外面的一点确定一个平面，两条相交直线确定一个平面，两条平行直线确定一个平面.［师］很好！平行的传递性在平面内是成立的，在空间也是成立的，这就是我们学习的平行公理，也可以说平行的传递性从平面推广到空间仍是成立的.在平面几何中，顺次连结四边形各边的中点，可以得到一个平行四边形，昨天我们做的一个作业题，顺次连结空间四边形各边的中点，同样也可以得到一个平行四边形，这个可不可以说也是从平面到空间的一个推广呢？

［生］可以.［师］从上面的这些例子可以看出，有些平面图形的性质，可以推广到空间图形中来，这种根据事物的特性，由已知性质推导出未知性质的方法叫类比法，类比法是人类发现真理的一种重要方法.［师］大家再来看这样一个问题：在平面几何中，我们学过这样一个定理：“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等”，这个定理能不能推广到空间图形呢？

（学生不知该怎样回答）

［师］今天我们就来讨论这个问题.2．新课讨论：

［师］请大家先用竹签比试比试.看这两个角是否相等.（学生动手、观察）

［师］一艘大货轮与一只小船在大海中都向东北方向航行，他们前行的方位角怎样呢？

（学生思考，通过动手演示、观察，实例思考，不难从感性上对这个命题加以肯定）.［师］我们已观察到“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相

同，那么这两个角相等”，（板书定理）现在让我们从理论上对这个命题加以证明.已知：∠BAC和∠B′A′C′的边AB∥A′B′，AC∥A′C′，并且方向相同，（AB∥

A′B′且方向相同，即AB的方向相同，AC∥A′C′且方向相同，即 与AC的方向相同）.求证：∠BAC＝∠B′A′C′.分析：对于∠BAC和∠B′A′C′在同一平面内的情形，在初中平面几何中已作过证明，下面我们证明两个

角不在同一平面内的情形.［师］在平面几何中，要证明两个角相等，我们用过哪些方法？

（学生回忆、思考、发言）

［生］对顶角相等；

同腰三角形的两底角相等；

平行线中的同位角（或内错角）相等；

全等三角形的对应角相等；

相似三角形的对应角相等，等等.［师］现在∠BAC与∠B′A′C′是不在同一平面内的两个角，如何证明它们相等呢？

（同学们议论、发言）

［生］因为它们不是对顶角，也不是同一个三角形的两个角，因而不能用“对顶角相等”或“等腰三角形的两底角相等”来证明，它们不在同一平面内，因而也不可能是同位角或内错角，因此也就不能用平行线的性质去证明.考虑能不能用全等三角形或相似三角形的性质来证.［师］××同学的分析很好！要想用全等三角形或相似三角形的性质证.首先得有三角形，而现在的图中仅是两个角，为此需要以这两个角为基础，构造出两个三角形，既然是要构造三角形，干脆从全等考虑好了.在AB、A′B′、AC、A′C′上分别截取AD＝A′D′、AE＝A′E′，连结DE、D′E′，得到△ADE和△A′D′E′

我们来看这两个三角形是否全等.［生］这两个三角形已经有两条边对应相等（AD＝A′D′，AE＝A′E′，所作），再有一个条件两个三角形就能全等了.［师］再找个什么条件呢？找角虽然不可能.若能，我们的问题就解决了，还麻烦什么呢？那就只有集中精力证DE＝D′E′了.大家看怎样来证明DE＝D′E′呢？DE、D′E′孤零零的两条线段，没有联系，怎样证呢？

［生］（受到孤零零，找联系的启示）添辅助线将DE、D′E′联系起来，连结 DD′、EE′，若能证明DEE′D′是平行四边形就好了

［师］怎样证明四边形DEE′D′是平行四边形呢？大家再想想办法看.［生］只要证明DD′∥ EE′就行了.＝

［师］要想证明DD′∥ EE′，还得再找一个“媒介”.能否再找到一条线段，使＝

DD′、EE′都和它平行并且相等呢？

（同学们观察图形、思考分析）

［生］连结AA′.在四边形AA′E′E中，因为AE=A′E′，AE∥A′E′,所以四边形AA′E′E是平行四边形，所以EE′∥ AA′，同样道理 ＝

可得DD′∥ AA′，由平行公理DD′∥ EE′.＝＝

［师］至此，问题得到解决，请同学们再把思路理一理，写出定理的证明过程.（学生再看题，理顺思路，整理信息，请一位同学将证明过程板书于黑板上）

证明：在AB、A′B′、AC、A′C′上分别截取AD＝A′D′，AE＝A′E′，连DE、D′E′，连DD′、EE′、AA′

.［师］通过理论上的证明.我们说“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等”，无论在平面，还是在空间都是成立的.把上面两个角的两边都反向延长，可得出下面的推论：

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行.那么这两组直线所成的锐角（或直

角）相等.［师］请同学们注意：这个定理及其推论对于平面图形是成立的，对于空间图形也是成立的.平面图形的性质可以推广到空间图形的例子，尽管我们举了数个，但并不是所有平面图形的性质都可以推广到空间图形中来.例如，在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，但在空间，垂直于同一条直线的两直线可以平行，也可以相交，还可以是异面直线.以后当我们学习了更多的空间图形的性质就会发现，还有许多平面图形的性质不能推广到空间图形.由此可见，根据事物的相似性，我们可以用类比的方法推导出许多新的性质.但又不能滥用类比，若忽视了事物的变异性，就会产生错误的推理，这是在推理过程中需要特别注意的地方.一般地说，要把关于平面图形的结论推广到空间图形，必须经过证明，绝不能单凭自己的主观猜测。

3．课堂练习：

课本P26练习.4．课堂小结：

本节课我们讨论了等角定理及其推论，它是我们学习后续知识的基础.对于等角定理，5．课后作业：

1、E、F、G、H2＝a，AC·BD＝b，求EG＋

2、如图，已知棱长为a点。（1）求证：四边形MNA1C1（2）求四边形MNAC1

11.预习课本P26~P28

2.预习提纲

（1）异面直线的概念.（2（3（4）异面直线所成角的范围是怎样的？

（5）怎样的两条异面直线互相垂直？

（6）互相垂直的两异面直线怎样表示？

（7）两条异面直线的公垂线的定义是什么？

（8）两条异面直线的公垂线有什么特征？

（9）两条异面直线的公垂线有几条？

（10）两条异面直线的距离的定义是什么？

思考与练习：

1.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，但方向都相反，这两个角关系怎样？试画图并证明.提示：证明方法与等角定理的证法相同.2.空间的两个角的两边分别平行，则这两个角的大小关系是_______.答案：相等或互补

3.在空间一个角的两边与另一个角的两边分别垂直相交，则这两个角的大小关系是_______.答案：不能确定

4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∠CBB1的两边与哪个角的两边平行且方向相同？

∠CBB1的两边与哪个角的两边平行且方向相反？∠CBB1的两边和哪个角的两边平行，且一边方向相同而另一边方向相反？

答案：∠CBB1与∠DAA1的两边平行且方向相同； ∠CBB1与∠DD1A1、∠CC1B1的两边平行且方向相反； ∠CBB1与∠ADD1、∠AA1D1的两边平行，且一边方向相同而另一边方向相反.5.如图，已知线段AA′、BB′、CC′相交于O，且OA

OAOBOC

OBOC.求证：△ABC∽△A′B′C′.OAOB

证明：OAOBAOB∽△AOB

AOBAOB

AB

ABOA

OA

同理BC

BCOBOB

CAOCAB

ABBC

BCCA

CAOCCA



OAOBO

OAOBC

OC

△ABC∽△A′B′C′.