线性代数电子教案LA41B_免费线性代数电子教案

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第四章

向量组的线性相关性

§4.1 向量及其运算

1．向量：n个数a1,a2,,an构成的有序数组, 记作(a1,a2,,an),称为n维行向量．

ai–– 称为向量的第i个分量

aiR–– 称为实向量（下面主要讨论实向量）

aiC–– 称为复向量

零向量：(0,0,,0)

负向量：()(a1,a2,,an)

2．线性运算：(a1,a2,,an), (b1,b2,,bn)

相等：若aibi(i1,2,,n), 称．

加法：(a1b1,a2b2,,anbn)

数乘：k(ka1,ka2,,kan)

减法：()(a1b1,a2b2,,anbn)

3．算律：(a1,a2,,an), (b1,b2,,bn), (c1,c2,,cn)

(1)

(2)

(3)

(4)ΔΔΔ

(5)1

()()

(6)k(l)(kl)



(7)k()kk ()

(8)(kl)kl

a1a2 4．列向量：n个数a1,a2,,an构成的有序数组, 记作，an

或者(a1,a2,,an)T, 称为n维列向量．00

零向量：

负向量：()0a1a2 an 5．内积：设实向量(a1,a2,,an), (b1,b2,,bn), 称实数

[,]a1b1a2b2anbn为与的内积．

算律：(a1,a2,,an), (b1,b2,,bn), (c1,c2,,cn)

(1)[,][,]

(2)[k,]k[,]

（k为常数）

(3)[,][,][,]

(4)时, [,]0；时, [,]0．

(5)[,]2[,][,]

证(5)tR, 由[t,t]0可得

[,]2[,]t[,]t20

04[,]24[,][,]0

[,]2[,][,]

6．范数：设实向量, 称实数 [,]为的范数．

性质：(1)时, 0；时, 0．

(2)kk

(kR)

(3)

(4)

证(3)2[,][,]2[,][,]

22

证(4),()



()

7．夹角：设实向量,, 称 arccos

为与之间的夹角．

正交：若[,]0, 称与正交, 记作．

(1),时, [,](0)

2；

(2)或时, 有意义, 而无意义．

单位化：若, 称0

§4.2 向量组的线性相关性

1．线性组合：对n维向量及1,,m, 若有数组k1,,km使得

k11kmm, 称为1,,m的线性组合,或可由1,,m线性表示．

1135例1 10, 21, 31, 43 11111为与同方向的单位向量．

判断4可否由1,2,3线性表示? 解

设4k11k22k33，比较两端的对应分量可得3k15k1011k3k21

01, 求得一组解为22 11111k3k3

于是有4012213, 即4可由1,2,3线性表示．

k12 [注] 取另一组解k23时, 有4213203．

0k3 2．线性相关：对n维向量组1,,m, 若有数组k1,,km不全为0, 使得

k11kmm

称向量组1,,m线性相关, 否则称为线性无关．

线性无关：对n维向量组1,,m, 仅当数组k1,,km全为0时, 才有

k11kmm

称向量组1,,m线性无关, 否则称为线性相关． [注] 对于单个向量：若, 则线性相关；

若, 则线性无关．

例2 判断例1中向量组1,2,3,4的线性相关性．

解

设k11k22k33k44, 比较两端的对应分量可得

k135011k20 13

01k31111k04

即Ax0．因为未知量的个数是4, 而rankA4, 所以Ax0

有非零解, 由定义知1,2,3,4线性相关．

例3 已知向量组1,2,3线性无关, 证明向量组

112, 223, 331

线性无关．

证

设 k11k22k33, 则有

(k1k3)1(k1k2)2(k2k3)3

因为1,2,3线性无关, 所以

k1k30

k1k20 , 即

kk032101k10110k02 0110k3101

系数行列式 11020, 该齐次方程组只有零解．

011

故1,2,3线性无关．

例4 判断向量组

e1(1,0,0,,0), e2(0,1,0,,0), …, en(0,0,,0,1)的线性相关性．

解

设 k1e1k2e2knen, 则有

(k1,k2,,kn)只有k10,k20,,kn0

故e1,e2,,en线性无关．

例5 设1,2,,m两两正交且非零, 证明该向量组线性无关．

证 设 k11k22kmm, 两端与i作内积可得

k1[1,i]ki[i,i]km[m,i][,i]

当ij时, [i,j]0, 于是有

ki[i,i]0只有ki0(i)

上式对于i1,2,,m都成立, 故1,2,,m线性无关．

3．判定定理

定理1 向量组1,2,,m(m2)线性相关

其中至少有一个向量可由其余m1个向量线性表示．

证 必要性．已知1,2,,m线性相关, 则存在k1,k2,,km不全为零,使得

k11k22kmm

不妨设k10, 则有 1(kk2)2(m)m． k1k1

充分性．不妨设 1k22kmm, 则有

(1)1k22kmm

因为(1),k2,,km不全为零, 所以1,2,,m线性相关．

定理2 若向量组1,2,,m线性无关, 1,2,,m,线性相关,则可由1,2,,m线性表示, 且表示式唯一．

证 因为1,,m,线性相关, 所以存在数组k1,,km,k不全为零,使得

k11kmmk

若k0, 则有 k11kmmk10,,km0．矛盾!

故k0, 从而有 (kk1)1(m)m． kk

下面证明表示式唯一：

若

k11kmm, l11lmm

则有

(k1l1)1(kmlm)m

因为1,2,,m线性无关, 所以

k1l10,,kmlm0k1l1,,kmlm

即的表示式唯一．

定理3 1,,r线性相关1,,r,r1,,m(mr)线性相关．

证 因为1,,r线性相关, 所以存在数组k1,,kr不全为零, 使得

k11krr  k11krr0r10m

数组k1,,kr,0,,0不全为零, 故1,,r,r1,,m线性相关．

推论1 含零向量的向量组线性相关．

推论2 向量组线性无关任意的部分组线性无关．

课后作业：习题四

1, 2, 3, 4, 5