等差数列教案4_四年级等差数列教案

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等差数列（1）

教学内容与教学目标

1．使学生理解等差数列的定义，掌握通项公式及其简单应用，初步领会“迭加”的方法；

2．通过通项公式的探求，引导学生学习归纳、猜测、证明等合情推理与逻辑推理方法，提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力；

3．通过证明的教学过程，培养学生实事求是的科学态度和勇于探索的精神．

设计思想

1．根据本节内容，我们选用“探究发现式”教学法，并按如下顺序逐步展开：

(1)给等差数列下定义；

(2)等差数列通项公式的探求；

(3)通项公式的初步应用．

2．在讲等差数列概念之前，学生对数列的定义及通项公式已有所理解．在此基础上，通过引导学生对几个具体数列共性（差相等）的观察研究，让学生自己给等差数列下定义────把命名权交给学生，旨在充分发挥学生的主体作用．

3．“观察───归纳───猜想───证明”是获得发现的重要途径．因此，在探求等差数列的通项公式时，我们选择了上述途径，一方面可提高学生的合情推理与逻辑推理能力，另一方面，为落实教学目标打下了坚实的基础．

课题引入

通过请学生观察几个具体的数列的特点．例如：

(1)1，4，7，10，„；

(2)3，－1，－5，－9，„；

(3)5，5，5，5，„，并由学生自行分析（必要时老师可作点拨）得出“从第2项起每一项与它前一项的差都等于同一个常数”这一共性，随即请学生给这类数列命名（学生易将这类数列称作“差相等的数列”或“等差数列）”，师肯定学生的回答，或稍作提炼，并顺水推舟，指出这是我们今天将要研究的内容───等差数列（板书），以此引出课题．

知识讲解

1．关于等差数列的定义

(1)教学模式：由学生观察分析几个具体数列的共性───给这类数列命名（等差数列）───给等差数列下定义───分析两个要点的作用───用符号语言描述定义───指出定义的功能．

采用这一教学模式，主要目的是充分发挥学生的主体作用，教师的主导作用主要体现在必要的点拨上．

(2)等差数列的定义有两个要点．一是“从第2项起”．这是为了确保每一项与前一项差的存在性；二是“差等于同一个常数”，这是等差数列的基本特点“差相等”的具体体现．

2．+关于等差数列的通项公式

(1)教学模式：试验───归纳───猜想───证明───鉴赏．即试着求出a1，a2，a3，a4，并对此进行分析归纳，猜想出通项公式，再加以证明，最后从数形结合的角度揭示公式的内涵．

采用这一教学模式，可帮助学生学习合情推理与逻辑推理的方法，提高学生的发现能力和逻辑思维能力，培养学生思维的科学性和严密性以及勇于探索的精神．

(2)通项公式的证明：

方法1（利用迭加法）：

在an－an－1=d中，取下标n为2，3，„，n，得a2－a1=d，a3－a2=d，a4－a3=d，„，an－an－1=d．

把这n－1个式子相加并整理，得an= a1＋（n－1）d．

又当n=1时，左边= a1，右边= a1＋（1－1）d= a1．

公式也适用．故通项公式为an= a1＋（n－1）d（n=1，2，3，„）．

方法2（利用递推关系）

an= an－1＋d

= an－2＋2d

= an－3＋3d（注意ak的下标与d的系数的关系）

=„

= a1＋（n－1）d．

（n=1时的验证同方法1）．

(3)公式鉴赏：

① 通项公式可表示为an=dn＋c（其中c= a1－d，nN）的形式，n的系数即为公差．当d≠0时，an是定义在自然数集上的一次函数，其图象是一次函数y=dx＋c（xR）的图象上的一群孤立的点．

② 通项公式中含有a1，d，n，an四个量，其中a1和d是基本量，当a1和d确定后，通项公式便随之确定．从已知和未知的角度看，若已知其中任意三个量的值，即可利用方程的思想求出第四个量的值（即知三求一）．

例题分析

考虑到本节课是等差数列的起始课，因此例题应围绕等差数列的定义及通项公式这两个知识点选配．

例1．求等差数列8，5，2，„的第20项．

通过本题的求解，使学生初步掌握通项公式的应用，运用方程的思想“知三求

一” ．

本例在探求出通项公式以后给出．

分析与略解：欲求第20项a20，需知首项a1与公差d．现a1为已知，因此只需*求出d，便可由通项公式求出a20．事实上，∵ a1=8，d=5－8=－3，n=20，∴ a20=8＋（20－1）×（－3）= －49．

例2．已知数列－2，1，4，„，3n－5，„，(1)求证这个数列是等差数列，并求其公差；

(2)求第100项及第2n－1项；

(3)判断100和110是不是该数列中的项，若是，是第几项？若不是，请说明理由．

通过本例的求解，加深学生对定义及其功能的理解和认识，并能利用方程的思想解决问题．

本例可在讲完定义后给出，也可在获得通项公式以后给出．

分析：对(1)，只需利用定义证明an＋1－an等于常数即可，并且这个常数即为公差；对(2)，从函数的角度看，只需将an=3n－5中的n分别换成100及2 n－1即得a100和a2n－1；对(3)，只需利用方程的思想，由an=100或an=110分别求出n，若求出的n为正整数，则可判定该数是这个数列中的项，并且这个正整数是几，该数就是这个数列中的第几项；若n不是正整数，则该数不是这个数列中的项．

略解：(1)由于an＋1－an=3（n＋1）－5－（3 n－5）=3（常数），故这个数列是等差数列，且公差d=3．

(2)∵ an=3 n－5，∴ a100 =3×100－5=295，a2n－1=3（2n－1）－5=6n－8．

(3)设3 n－5=100，解得n=35，∴ 100是这个数列中的项，并且是第35项；

设3 n－5=110，解得n=115

3N*，∴ 110不是这个数列中的项．

小结或总结

本节课我们主要研究了等差数列的定义和它的通项公式．等差数列的定义是判断一个数列是否是等差数列的依据之一，通项公式是通项an与项数n的关系的一种解析表示，它从函数和方程两个角度为我们求解问题提供了有力的工具．通过给等差数列下定义及自行探求通项公式，使我们领略了合情推理与逻辑推理在探索、发现知识方面的重要作用．

习 题

1．已知等差数列｛an｝中，a1=5．6，a6=20．36，则a4=．

2．已知数列｛an｝的通项公式是an=－2 n＋3，证明｛an｝是等差数列，并求出公差、首项及第2 n＋5项．

3．在数列｛an｝中，a1=－2，2 an＋1－1=2an，则，a51等于，（）．

(A)20(B)21(C)22

参考答案(D)2

3１．14．6

2．∵ an＋1－an= －2，∴｛an｝是等差数列，且d= －2，a1=1，a2n＋5= －4 n－7．

3．D．

引申与提高

除了等差数列的定义以外，通项公式也是判断一个数列是否是等差数列的依据之一．我们把通项公式改写成a1= an＋（n－1）·（－d）（*），并把它与原通项公式比较，易知两者形式是完全一样的．这里可视an为首项，a1为第n项，这个数列由原数列中前n项反序书写而得，即an，an－1，an－2，„，a2，a1．由（*）式知它仍成等差数列，并且公差为－d．由此知，从正、反两个不同的顺序看待“同一个”等差数列时，各自“等差”的特点保持不变，但公差互为相反数．

思 考 题

１．已知数列－5，－3，－1，1，„是等差数列，判断2n＋7（n∈N*）是否是该数列中的项？若是，是第几项？

略解：∵ d= －3－（－5）=2，∴ an= －5＋（n－1）×2=2 n－7．

而2n＋7=2（n＋7）－7，∴ 2n＋7是该数列中的第n＋7项．

２．已知数列－5，－3，－1，1，„是等差数列，判断2n＋7（n∈N*）是否是该数列中的项？若是，是第几项？

略解：∵ d= －3－（－5）=2，∴ an= －5＋（n－1）×2=2 n－7．

而2n＋7=2（n＋7）－7，∴ 2n＋7是该数列中的第n＋7项．

测 试 题

22．且｛an｝是等差数列，则1．已知数列an的前4项分别为25，238是数列an中的（）．

(B)第49项

an1(A)第48项(C)第50项 31an(D)第51项 2．已知数列｛an｝中，a1=1，则a98=．

3．一个首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围．

参考答案

１．D．

2．1

292．提示：｛1an｝是公差为3的等差数列，求出1an后再求an，进而求出

a98．

a100249d083．由，即，解得＜d≤3.3248d90a90

∴d的取值范围是，3．

38