2.2椭圆 教学设计 教案由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“椭圆教学设计人教版”。
教学准备
1.教学目标
1.知识目标：
(1).使学生掌握椭圆的性质，能根据性质正确地作出椭圆草图；掌握椭圆中a、b、c的几何意义及相互关系；
(2)通过对椭圆标准方程的讨论，使学生知道在解析几何中是怎样用代数方法研究曲线性质的，逐步领会解析法（坐标法）的思想。
(3)能利用椭圆的性质解决实际问题。2.能力目标：
培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决 实际问题的能力。3.德育目标：
(1)通过对问题的探究活动，亲历知识的建构过程，使学生领悟其中所蕴涵 的数学思想和数学方法，体验探索中的成功和快乐，使学生在探索中喜欢数学、欣赏数学。
(2)通过“神舟7号”飞天圆梦，激发学生爱国之情。
(3)培养学生既能独立思考，又能积极与他人合作交流的意识和勇于探索创新的精神。
2.教学重点/难点
重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法。
难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的学生主动交流合作、大胆探究的过程应是教学的难点。
3.教学用具
多媒体课件、实物投影仪。
4.标签
教学过程
教学过程设计
（一）复习回顾
1.椭圆的定义：到两定点F1、F2的距离和为常数（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆。
2.若|MF1|+ |MF2|=2a（2a是常数）
当2a>|F1F2|时，点M的轨迹是________；（椭圆）当2a=|F1F2|时，点M的轨迹是________；（线段FF）当2a
焦点在y轴上时：
求椭圆标准方程的方法：----------待定系数法.求椭圆标准方程的步骤：
(1)确定焦点位置，设椭圆的标准方程
(2)求a,b（常建立方程组）
(3)下结论
4.方程中a,b,c之间的关系：a2=b2+c2 思考回答下面问题
1.判断下列方程是否表示椭圆,若是, 求出 a, b, c.（5）若_______
表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是回答：（1）不是；（2）是，a=2，b=c=c=（5）(-16,4)∪(4,24)
；（3）不是；（4）是，a=3，b=2，2.若动点M到F1(-1,0),F2(1,0)的距离之和为2,则M的轨迹是__（线段F1F2）复习检测 1.已知椭圆=_________;2.已知椭圆，它上点P到F1的距离为6，则|PF2|=________;，则a=_____,c=______,焦点___________,焦距3.椭圆的焦距2，则m=_____________.4.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）与椭圆
（2）经过点P1（共焦点，且过点M（0，-2）； ,1), P2(,).解答：（1）10,8，（0,8），（0，-8）,16；（2）14；（3）5或3；
（4）
（二）创设情境
我们知道，飞船绕地运行了十四圈，在变轨前的四圈中，是沿着以地球中心为一个焦点的椭圆轨道运行的。如果告诉你飞船飞离地球表面最近和最远的距离，即近地点距地面的距离和远地点距地面的距离，如何确定飞船运行的轨道方程？要想解决这一实际问题，就有必要对椭圆做深入的研究，这节课我们就一起探求椭圆的性质。（引出课题）
（三）探索研究 1.范围
教师：同学们继续观察椭圆，如果分别过A1、A2作y轴的平行线，过B1、B2作x轴的平行线（课件展示），同学们能发现什么？ 学生能答出：椭圆围在一个矩形内。
教师补充完整：椭圆位于四条直线x=±a, y=±b所围成的矩形里，说明椭圆是有范围的。
教师：下面我们想办法再用方程
来证明这一结论的正确性。启发学生，用方程讨论图形的范围就是确定方程中x、y的取值范围。从方程的结构特点出发，师生共同分析，给出证明过程。由，利用两个实数的平方和为1，结合不等式知识得，x2≤a2且y2≤b2,则有｜x｜≤a,｜y｜≤b, 所以-a≤x≤a,-b≤y≤b。
设计意图：从“直观图形”与“方程思想”两个不同的角度研究椭圆范围 2．对称性的发现与证明
教师：椭圆的图形给人们以视觉上的美感（课件展示椭圆），如果我们沿焦点所在的直线上下对折，沿两焦点连线的垂直平分线左右对折，大家猜想椭圆可能有什么性质？（学生动手折纸，课前教师要求学生把上节学习椭圆定义时画的椭圆拿来。）学生们基本上能发现椭圆的轴对称性。
教师：除了轴对称性外，还可能有什么对称性呢？ 稍作提示容易发现中心对称性。
教师：这仅仅是由观察、猜想得到的结果，怎样用方程证明它的对称性？ 设计意图：让学生先从直观上认识椭圆的对称性，然后再用方程证明其对称性。提出问题
①把x换成-x，方程变吗？说明图象关于什么对称？
②把y换成-y，方程变吗？说明图象关于什么对称？
③把x换成-x，y换成-y，方程变吗？说明图象关于什么对称？ 得出重要结论：
（1）用方程f(x,y)=0判定图像对称性的方法：①把x换成-x；或用（-x,y）代f(x,y)=0,方程不变，图象关于y轴对称；②把y换成-y；或用（x,-y）代f(x,y)=0,方程不变，图象关于x轴对称；③把x换成-x，y换成-y，或用（-x,-y）代f(x,y)=0,方程不变,？图象关于关于原点成中心对称
（2）椭圆图象的对称性：椭圆图象关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
投影显示下图及问题
问题：椭圆的对称轴一定时x轴、y轴吗，对称中心一定是原点吗？图中的椭圆有对称轴和中心吗？
指导学生思考讨论后获取共识：坐标系是用来研究曲线的重要工具，而椭圆的对称性是椭圆本身固有的性质，无论椭圆在坐标系的什么位置，它都有两条互相垂直的对称轴，有一个中心，与坐标系的选取无关。（此问题也为后面研究平移变换埋下伏笔）。小试身手1 已知点P(3,6)在椭圆(A)点(-3,-6)不在椭圆上；
(B)点(-3,6)不在椭圆上；(C)点(3,-6)在椭圆上；
(D)无法判断点(-3,-6),(3,-6),(-3,6)是否在椭圆上 3.顶点的发现与确定
教师：我们研究曲线，常常需要根据曲线上特殊点的位置来确定曲线的位置。教师提问：你认为椭圆上哪几个点比较特殊？
由学生观察容易发现，椭圆上存在着四个特殊点，这四个点就是椭圆与坐标轴的交点，同时也是椭圆与它的对称轴的交点。
教师启发学生与一元二次函数的图像（抛物线）的顶点作类比，并给出椭圆的顶点定义。
教师：能根据方程确定这四个顶点的坐标吗？
由学生自主探究,求出四个顶点坐标。即令x=0,得 y=±b，因此B1(0,-b), B2(0,b)，令y=0，得x=±a，因此A1(-a,0), A2(a,0)。
结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长，半焦距，点明方程中a、b和c的几何意义和数量关系。
由学生探究得出椭圆的一个焦点F2到长轴两端点A1 , A2的距离分别为a+c和a-c。教师指出，这在解决天体运行中的有关实际问题时经常用到。小试身手2 说出椭圆范围：4．离心率
教师：我们在学习椭圆定义时，用同样长的一条细绳画出的椭圆形状一样吗？的范围,长轴长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:
上，则（C）同学们能回答出：不一样，有的圆一些，有的扁一些。请同学们思考：椭圆的圆扁程度究竟与哪些量有关呢？
此时学生展开讨论，可能有的说与a、c有关，也可能说与a、b有关等等。通过观察演示实验，化抽象为具体，引导学生思考。
教师引导学生从演示实验观察到由于椭圆位于直线x=±a,y=±b围成的矩形里，矩形的变化对椭圆形状的影响。
矩形越狭长，椭圆越扁；矩形越接近于正方形，椭圆越接近于圆；当矩形变为正方形时，即a=b时,椭圆变为圆。即当比值越小，椭圆越扁；比值
越大，椭圆越接近于圆。
由于扁；当越小时，所以当越大时，越小，椭圆越
越大，椭圆越接近于圆。把比值e=叫椭圆的离心率，分析出离心率的范围：0＜e＜1。
结论：椭圆在-a＜x＜a，-b＜x＜b内，离心率e越大，它就越扁；离心率e越接近于0，它就越接近于圆。所以说离心率是描述椭圆圆扁程度的量。小试身手3 3.比较下列每组中两个椭圆的形状,哪一个更扁?
思考：焦点在y轴上的几何性质如何呢？ 总结椭圆的几何性质，填写下表
（四）巩固与创新应用
为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例1 例1
.已知椭圆16x2+25y2=400，它的长轴长是：，短轴长是：，焦距是：，离心率等于：，焦点坐标是：，顶点坐标是：，外切矩形的面积等于：。
解析：先把方程化为标准方程，a=5,b=4,c=3
长轴长：10，短轴长：8，焦距：6离心率：3/5焦点坐标：（-3,0）（3,0）
顶点坐标：（-5,0）（5,0）（0，-4）（0,4）面积是：80 练习1.已知椭圆方程为6x²+y²=6 它的长轴长是：
。短轴长是：
。焦距是：
。离心率等于：
。焦点坐标是：
。顶点坐标是：
。外切矩形的面积等于：
。解析：先把方程化为标准方程，a=,b=1,c=
长轴长：2点坐标：（0，-）（0，,短轴长：2，焦距：2）
离心率：，焦
顶点坐标：（-1,0）（1,0）（0，-4）（0,）面积是：例2 椭圆的一个顶点为A（2,0）,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
解析：椭圆的标准方程为
或
.练习2.已知椭圆的离心率，求k的值。
解答：当椭圆的焦点在x轴上时，k=4
当椭圆的焦点在y轴上时，例3.已知椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在y轴,长轴是短轴的2倍,焦距为2,离心率为，求椭圆的方程。
解析：由题可得：设椭圆方程为，因为2a=4b,2c=2,e=,b=,又因为a2=b2+c2,所以c=1,a=
所以椭圆方程为：
1)练习3.已知椭圆的方程为x2+m2y2=m2，m>0且m
0
m>1 时 它的长轴长是： 2m
;
它的长轴长是：
;
短轴长是：
;
短轴长是： 2m
;
例4.我国发射的“神舟七号”飞船在变轨前是沿以地球的中心F2为一个焦点的椭圆轨道运行的。已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面约为200km,远地点B（离地面最远的点）距地面约为350km，地球半径为6371km并且F2、A、B在同一直线上，求飞船运行的轨道方程。（结果精确到0.01km）设置本题的主要意图是:第一,为增强学生的数学应用意识和运用数学知识解决实际问题的能力；第二，为满足中等及中等以上层次学生的学习需求。
师生共同分析：先把实际问题转化为数学问题。（求神舟五号飞船的轨道方程，就是求椭圆的方程）。
教师：求椭圆的方程又需要先做什么呢？（建立坐标系）。
怎样建系？（以过A、B的直线为x轴，F2为椭圆的右焦点，记F1为左焦点建立如图所示的直角坐标系（课件上作图、建系）则它的标准方程为
下面确定a、b的值，题中提供的信息是近地点、远地点到地面的距离以及地球的半径，由这些条件我们可以知道些什么呢？
学生对照图形认真思考，相互讨论由学生得出解法。｜F2A｜=6371+200，｜F2B｜=6371+350 又∵｜F2A｜=｜oA｜-｜oF2｜=a-c 因此,有 a-c=｜oA｜-｜oF2｜=｜F2A｜=6371+200=6571 同理,得 a+c=｜o B｜+｜oF2｜=｜F2B｜=6371+350=6721 解得
a=6646，c=75 b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=44163691≈6645.582 因此，飞船的轨道方程为计算过程由学生用计算器求得。
教师最后课件展示：用计算机画出飞船运行的轨迹。
课堂小结
本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性质，待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。
布置学生最后小结下列表格：
课后习题
1.在下列方程所表示的曲线中，关于x轴，y轴都对称的是（D）A.x2=4y
B.x2+2xy+y=0
C.x2-4y2=5x D.9x2+y2=4 2.椭圆以坐标轴为对称轴，离心率，长轴长为6,则椭圆的方程为（C）
3.若椭圆的一个焦点与短轴的两端点构成一个正三角形，则椭圆的离心率为（）
4.求符合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)经过点(-3,0)、(0,-2);
(2)长轴的长等于20,离心率等于0.6 解答：
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