余弦定理教学教案_余弦定理教学设计

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1.1.2余弦定理

●教学目标

知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 ●教学重点

余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； ●教学难点

勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。●教学过程

1、复习：已知A=300,C=450,b=16解三角形。（可以让学生板练）

2、若将条件C=450改成c=8如何解三角形？

师生活动：用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角解三角形”：已知△ABC，BC=a,AC=b,和角C，求解c,B,A

引出课题：余弦定理

Ⅱ.讲授新课 [探索研究]

从而c2a2b22abcosC(图1．1-5)同理可证a2b2c22bccosA

2bac2accosB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即a2b2c22bccosA

222

bac2accosB 222

cab2abcosC

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

bca

cosA

2bcacb

cosB

2acbac

cosC

2ba

[理解定理] 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

从而知余弦定理及其推论的基本作用为： 用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

A如图1．1-5，设CBa，CAb，ABc，那么cab，则b

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ 

c（由学生总结）若ABC中，C=900，则cosC0，这时c2a2b

22由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。ccabab[例题分析]aabb2abCaB22

a

2ab

例

1、在ABC中，已知a23,b3,C30，解此三角形。

32法一：由正弦定理

3

bsinB



csinC，即

312



33sinC，解得sinC

32，解：由余弦定理：c2a2b22abcosC1292233

因为cb，所以C60或120，c

cosA

bca

2bc





222

当C60时，A90，ABC为直角三角形，此时a



931263



bc

6；

0，A90；



当C120时，A30，AB，所以ab3。法

B180309060；



二

：由余弦定理bac2accosB

222，得

例

2、在ABC中，已知a7,b10,c6，求此三角形三个角的余弦值并判定其形状。

解：由余弦定理的推论可得： cosA

bca

2bcacb

2acabc

2ab

528

3a3

3



233acos30，化简可得a29a180，解得a6或a3。

2940



1003649

1204936100

844910036

140



当a6时，由正弦定理得sinA

asinBb

1，A90,C60;



cosB

528

当a3时，由正弦定理得sinA

asinBb



2，A30,C120

cosC

113140

问题拓展：如果本题只要求判定三角形形状，是否还是按照上述步骤进行求解。请同学分析上述两种解法的优缺点，从而总结适合自己的方法。

[补充练习]在ABC中，若a2b2c2bc，求角A（答案：A=1200）Ⅳ.课时小结（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。

由cosB0可知B为钝角，所以ABC为钝角三角形。



例

3、在ABC中，已知b3,c33,B30,解此三角形。

解：