数学分析教案 (华东师大版)第十六章多元函数的极限与连续由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“数学分析华东师大版”。
《数学分析》教案
第十六章 多元函数的极限与连续
教学目的：1.明确认识多元函数与一元函数的相同和不同之处，进而掌握多元函数研究问题的手法与特点；2.明确研究多元函数的目的及多元函数的用途。教学重点难点：本章的重点是平面点集的有关概念与二元函数的连续性；难点是二元函数极限的讨论。教学时数：16学时
§ 1 平面点集与多元函数
一.平面点集:平面点集的表示:1.常见平面点集:
⑴ 全平面和半平面 :，，满足的条件}.余集
.等.⑵ 矩形域: , }.⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环.圆的个部分.极坐标表示, 特别是
和.型域..⑷ 角域: ⑸ 简单域:
型域和
2.邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集
： 两点的距离
.《数学分析》教案
（或）,..三.点列的极限: 设 定义的定义(用邻域语言).例4
为点集., ,.例
5设的一个聚点.则存在中的点列, 使
四.中的完备性定理:
1.Cauchy收敛准则:
先证{
}为Cauchy列
和
均为Cauchy列.2.闭集套定理: P116.3.聚点原理: 列紧性 , Weierstra聚点原理.4.有限复盖定理: 五.二元函数:
1.二元函数的定义、记法、图象：
2.定义域：
例6
求定义域：
ⅰ>
;ⅱ>
.《数学分析》教案
例3
证明.(用极坐标变换)P94例2.2.相对极限及方向极限:
相对极限
和方向极限的定义.3.全面极限与相对极限的关系:
Th 1,对D的每一个子集E ,只要点
是E的聚点 , 就有.推论1 设 则极限也不存在.,是的聚点.若极限
不存在 , 推论2 设， , 但
是的聚点.若存在极限, 则极限不存在.对D内任一点列,但
和
推论3 极限,数列
通常为证明极限
收敛.存在,不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关.但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等
全面极限存在(以下例5).的两个累次极限.《数学分析》教案
2.全面极限与累次极限的关系:
⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等.(例9)
⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数
在点的情况.⑶ 全面极限存在时, 两个累次极限可以不存在.例如例8中的函数,全面极限存在 , 但两个累次极限均不存在.⑷ 两个累次极限存在(甚至相等)
全面极限存在.(参阅例7).综上 , 全面极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.Th 2 若全面极限
和累次极限
(或另一次序)都存在 , 则必相等.(证)P98.推论1 全面极限和两个累次极限三者都存在时 , 三者相等.系1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2 两个累次极限存在但不相等时 , 全面极限不存在.但两个累次极限中一个存在 , 另一个不存在全面极限不存在.§ 3 二元函数的连续性
一． 二元函数的连续（相对连续）概念：由一元函数连续概念引入.1.连续的定义:
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2.一致连续性.(证)3.介值性与零点定理.(证)
