高三数学教案：导数的概念及应用_高三数学导数的概念

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课时考点2 导数的概念及应用

高考考纲透析：（理科）

(1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。(2)熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数。(3)理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。（文科）

(1)了解导数概念的某些实际背景。(2)理解导数的几何意义。(3)掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数。(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念.并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值。

高考风向标：

导数的概念及运算，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值，尤其是利用导数研究函数的单调性和极值，复现率较高。

高考试题选：

1.设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能 的是（）

x2.设曲线ye(x≥0）在点M（t,e--t）处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t）.（Ⅰ）求切线l的方程；（Ⅱ）求S（t）的最大值.23.已知a为实数，f(x)(x4)(xa)，（Ⅰ）求导数f(x)；（Ⅱ）若f(1)0，求f(x)在[--2，2] 上的最大值和最小值；

（Ⅲ）若f(x)在（—∞，—2）和[2，+∞]上都是递增的，求a的取值范围.热点题型1: 函数的最值

已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,（I）求f(x)的单调递减区间；

（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

解：（I）f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)3，所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．

（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．

故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．

变式新题型1：

已知f(x)ax36axb,x[1,2]的最大值为3，最小值为29，求a,b的值。

解题分析：对a的符号进行分类讨论，比较区间端点函数值及极值点的大小。

热点题型2: 函数的极值

已知函数f(x)ax3bx23x在x1处取得极值.（1）讨论f(1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值；（2）过点A(0,16)作曲线yf(x)的切线，求此切线方程.（1）解：f(x)3ax22bx3，依题意，f(1)f(1)0，即

3a2b30,3a2b30.解得a1,b0.∴f(x)x33x,f(x)3x233(x1)(x1).令f(x)0，得x1,x1.若x(,1)(1,)，则f(x)0，故

f(x)在(,1)上是增函数，f(x)在(1,)上是增函数.若x(1,1)，则f(x)0，故f(x)在(1,1)上是减函数.所以，f(1)2是极大值；f(1)2是极小值.（2）解：曲线方程为yx33x，点A(0,16)不在曲线上.3设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标满足y0x03x0.2因f(x0)3(x01)，故切线的方程为yy03(x01)(xx0)

2注意到点A（0，16）在切线上，有

32316(x03x0)3(x01)(0x0)

化简得x08，解得x02.所以，切点为M(2,2)，切线方程为9xy160.变式新题型2：

322已知f(x)xaxbxc和g(x)x3x2若yf(x)在点x1处有极值，且

曲线yf(x)和yg(x)在交点（0,2）处有公切线。（1）求a,b,c的值，（2）求yf(x)在R上的极大值和极小值。

解题分析：关健点是：曲线yf(x)和yg(x)在交点（0,2）处有公切线构造两个方程。

热点题型3: 函数的单调性

(理科)已知函数f(x)

简明答案：（Ⅰ）f(x)ax6的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.x2b（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.2x6；

（Ⅱ）f(x)在(,323)和(323,)上是减函数，2x3在(323,323)上是增函数。

（文科）已知函数f(x)x3bx2axd的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为6xy70（.Ⅰ）求函数yf(x)的解析式；（Ⅱ）求函数yf(x)的单调区间.简解：（Ⅰ）f(x)x33x23x2，（Ⅱ）f(x)x3x3x2在(,12)和(12,)上是增函数，在32(12,12)上是减函数。

变式新题型3：

42已知函数f(x)axbxc的图象经过点（0,1），且在x1处的切线方程是yx2，（1）求yf(x)的解析式；（2）求yf(x)的单调递增区间。

解题分析：关健点是：在x1处的切线方程是yx2构造两个方程。

热点题型4: 分类讨论在导数中应用

已知aR，函数f(x)x2|xa|。

（1）当a2时，求使f(x)x成立的x的集合；（2）求函数yf(x)在区间[1,2]上的最小值。解：（1）由题意，f(x)x|x2|

2当x2时，f(x)x(2x)x，解得x0或x1； 2当x2时，f(x)x(x2)x，解得x122

综上，所求解集为{0,1,12}；（2）设此最小值为m

32①当a1时，在区间[1,2]上，f(x)xax

2a0,x(1,2)3则f(x)是区间[1,2]上的增函数，所以mf(1)1a； 因为f(x)3x2ax3xx2 ②当1a2时，在区间[1,2]上，f(x)x2|xa|0，则f(a)0知

mf(a)0；

③当a2时，在区间[1,2]上，f(x)ax2x3，f(x)2ax3x23x2ax 3若a3，在区间(1,2)内f(x)0，从而f(x)为区间[1,2]上的增函数，由此得：

mf(1)a1；

若2a3，则1当1x2a2 322a时，f(x)0，从而f(x)为区间1,a上的增函数； 3322当ax2时，f(x)0，从而f(x)为区间a,2上的减函数 33因此，当2a3时，mf(1)a1或mf(2)4(a2)；

7当2a时，4(a2)a1，故m4(a2)

37a3时，a14(a2)，故ma1 31a,当a1时0,当1a2时综上所述，所求函数的最小值m4(a2),当2a7时

3a1,当a7时3当变式新题型4：

已知aR，求函数f(x)x2eax的单调区间。

备选题：

已知a > 0，函数f(x)= x3 – a，x∈[0，+)．设x1 > 0，记曲线y = f(x)在点M(x1，f(x1))处的切线为l．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）设l与x轴交点为（x2，0）．证明：

（ⅰ）x2≥1a3；（ⅱ）若x1>

1a3，则

1a3

（Ⅰ）解：求f(x)的导数：f(x)= 3x2，由此得切线l的方程：

3a)= 3x12(xx1)． y –(x1

（Ⅱ）证明：依题意，切线方程中令y = 0，33x1a2x1ax2 = x1 –，3x123x12113

（ⅰ）x2a2(2x1a3x12a3)=2(x1a3)2(2x1a3)≥0，3x13x113111 所以

x2≥a，当且仅当x1 =a时等号成立．

13113133x1a

（ⅱ）若x1 >a，则xa0,x2x10，且由（ⅰ）x2 >a3，23x13113 所以a