高中数学 2.1.2《椭圆的几何性质》教案(5) 湘教版选修11_高中数学椭圆性质教案

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第五课时 椭圆的简单几何性质

教学目标

1、掌握椭圆的几何性质，掌握用坐标法研究直线与椭圆的位置关系

2、熟练地求弦长、面积、对称等问题

3、培养对数学的理解能力及分析问题、解决问题的能力

教学过程

1、复习回顾

椭圆的定义、几何性质

判断直线与圆的位置关系的方法

2、探索研究

直线与椭圆的位置关系：坐标法(围绕直线与椭圆的公共点展开的)，将直线方程与椭圆方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＜0时，直线与椭圆相离。

3、反思应用

例1 当m为何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144相切、相交、相离？ 分析：将直线方程y＝x＋m代入椭圆9x＋16y＝144中，得9x＋16(x＋m)＝144，整理，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，∵Δ＝(32m)2―4·25(16m2―144)＝－576m2＋14400 当Δ＝0即m＝±5时，直线与椭圆相切； 当Δ＞0即－5＜m＜5时，直线与椭圆相交；

当Δ＜0即m＜－5或m＞5时，直线与椭圆相离。

例2 已知斜率为1的直线l经过椭圆x＋4y＝4的右焦点交椭圆于A、B两点，求弦长|AB|。分析：设A(x1,y1),B(x2,y2)，由椭圆方程知：a=4,b=1,∴c=3,∴右焦点F(3,0), ∴直线l的方程为yx8353，代入椭圆得5x83x80

222

2x1x2,x1x285,|AB|2|x2x1|2(x1x2)8x1x2285

小结：弦长公式|AB|1k2|x2x1|

例3 过椭圆x2/16＋y2/4＝1内一点M(2,1)引一条弦AB，使AB被点M平分，求弦AB所在直线的方程。

解一：当弦AB的斜率不存在时，弦AB的方程为x=2，不合题意舍去

设弦AB所在直线的方程为：y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理得

(4k2＋1)x2―8(2k2―k)x＋4(k2―1)2―16＝0，又设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1、x2为方程的两个根，于是x1x24(2k4k22k)1，又M为AB的中点，x1x222(2k4k22k)12，解之得k＝－1/2，故所求弦AB的方程是x＋2y－4＝0 解二：设A(x1,y1),B(x2,y2)，∵M(2,1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4,y1＋y2＝2 又∵A、B两点在椭圆上，∴x12＋4y12＝16，x,22＋4y22＝16，两式相减得x12－x22＋4(y12－y22)＝0,283ktx1x2214k 22212kt4tx1x2214k∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0，即x1x2k(x1整理得：(1k2)x1x2(1k)(12kt4t)14k222223t)k(x2223t)0

3kt(x1x2)3kt20

24kt14k4223kt220，整理得k＝4/11，2323txx1227此时

24tx1x29∵|PQ|＝20/9，1k411323t272|x2x1|2209

即(1)[()216t9]209,t1

所以所求椭圆方程为x2/4＋y2＝14、归纳总结

数学思想：数形结合、函数与方程

知识点：直线与椭圆的位置关系、弦长公式、中点弦问题、对称问题 作业：

1、直线l与椭圆方程为4x2＋9y2＝36交于A、B两点，并且AB的中点M(1,1)，求直线l的方程。

2、求焦点F(0,52)，截直线l：y＝2x－1所得弦中点的横坐标为2/7的椭圆的标准方程。答案：4x＋9y－13＝0； x2/75＋y2/25＝1