1.3.2球的表面积与体积的教案_球的表面积和体积教案

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枣庄三中2012-2013学年第一学期高一数学教学案

1.3.2 球体的表面积与体积

备课人： 编号：

教材分析：本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题来说明其应用.值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点.课时分配：1课时 教学目标：

1、教学重点：球的表面积和体积公式的应用.2、教学难点：关于球的组合体的计算.3、知识点：球的表面积和体积公式的应用.4、能力点：通过对球体的研究，掌握球的表面积和体积的求法。

5、教育点：培养学生空间想象能力和思维能力。

6、自主探究点：让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的表面积和体积的关系

7、考试点：能运用公式求解，柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。

8、易错易混点：正确运用公式求解，柱体、锥体和台体的体积

9：拓展点：通过让学生感受几何体面积和体积的求解过程，提高自己空间思维能力，增强学习的积极性。

教具准备：

圆规，黑板 引入新课：

思路1.位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨，有一座新异奇秀的半球形建筑.由香港好世界饮食服务（中国）有限公司等三方合资兴建，1996年9月正式开业，既是岛城饮食服务业的“特一级”店，又是新增加的一处景点.酒店的总建筑面积11 380平方米，现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？

思路2.球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题：球的体积和表面积.探究新知：

球的半径为R，它的体积和表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么S=4πR2,V=R.注意：球的体积和表面积公式的证明以后证明.理解新知：

例1 如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：

433

图1（1）球的体积等于圆柱体积的2； 3（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形.证明：（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.则有V球=R，V圆柱=πR2·2R=2πR3，所以V球=V圆柱.（2）因为S球=4πR2，S圆柱侧=2πR·2R=4πR2，所以S球=S圆柱侧.（设计意图）本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征.例2 如图3所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m、高为3 m的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1）? 43323

图3

活动：学生思考和讨论如何计算鲜花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积（不含下底面）与每朵鲜花占用的面积.几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积.解：圆柱形物体的侧面面积S1≈3.1×1×3=9.3(m2), 半球形物体的表面积为S2≈2×3.1×（1

2)≈1.6(m2), 2所以S1+S2≈9.3+1.6=10.9(m2).10.9×150≈1 635(朵).答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花.（设计意图：本题主要考查球和圆柱的组合体的应用，以及解决实际问题的能力.）运用新知：

练习1.如图2(1)所示，表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.图2

解：设球的半径为R，正四棱柱底面边长为a,则轴截面如图2（2），所以AA′=14,AC=2a,又∵4πR2=324π,∴R=9.∴AC=AC'2CC'282.∴a=8.∴S表=64×2+32×14=576,即这个正四棱柱的表面积为576.练习2.有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？

分析：转化为求水的体积.画出轴截面，充分利用轴截面中的直角三角形来解决.解：作出圆锥和球的轴截面图如图4所示，图4 圆锥底面半径r=R3R, tan30圆锥母线l=2r=23R，圆锥高为h=3r=3R，∴V水=3r2h434353R·RR，3R2·3R3333球取出后，水形成一个圆台，下底面半径r=3R,设上底面半径为r′，则高h′=(r-r′)tan60°=3(3Rr'), ∴53Rh'(r2+r′2+rr′),∴5R3=3(3Rr')(r'23Rr'3R2), 33∴5R3=3(33R3r'3)，解得r′=343R616R, 3∴h′=(3312)R.答：容器中水的高度为(3312)R.(选做题)1.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（）

A.1倍

B.2倍

C.97倍

D.倍 54分析：根据球的表面积等于其大圆面积的4倍，可设最小的一个半径为r，则另两个为2r、36r293r，所以各球的表面积分别为4πr、16πr、36πr，（倍）.2254r16r

222答案：C 2.若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π，则球的表面积是____________.分析：画出球的轴截面，则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形，又由题意得截面圆的半径是3，则球的半径为

4232=5，所以球的表面积是4π×52=100π.答案：100π 课堂小结

本节课学习了： 1.球的表面积和体积.2.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积.3.空间几何体的表面积与体积的规律总结：

（1）表面积是各个面的面积之和，求多面体表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积.求旋转体的表面积时，可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系，注意球面不可展开.（2）在体积公式中出现了几何体的高，其含义是： 柱体的高：从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为柱体的高；

锥体的高：从锥体的顶点向底面作垂线，这点和垂足间的距离称为锥体的高； 台体的高：从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为台体的高.注意球没有高的结构特征.（3）利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题的常用手段.（4）柱体、锥体、台体和球是以后学习第二章

点、直线、平面位置关系的载体，高考试题中，通常是用本模块第一章的图，考查第二章的知识.（5）与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一，常以选择题或填空题的形式出现，属于低档题.布置作业：1.课本本节练习1、2、3.2.自主学习丛书1.3.2 教后反思：

本节教学结合高考要求，主要是从组合体的角度来讨论球的表面积和体积.值得注意的是其中的题目没有涉及球的截面问题（新课标对球的截面不要求），在实际教学中，教师不要增加球的截面方面的练习题，那样会增加学生的负担.板书设计：

1.3.2球体的表面积与体积

公式： 例一： 例二： 练习：