一元二次方程知识点的总结_一元二次方程的知识点

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一元二次方程知识点的总结

知识点归类

建立一元二次方程模型

知识点一一元二次方程的定义

如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。例下列关于x的方程，哪些是一元二次方程？ 2223；⑴2⑵x6x0；（3xx5；（4）x0；（5）2x(x3)2x21 x5

知识点二 一元二次方程的一般形式

2一元二次方程的一般形式为axbxc0（a，b，c是已知数，a0）。其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

2（3）形如axbxc0不一定是一元二次方程，当且仅当a0时是一元二次

方程。

例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）5x27x；（2）x2x38；（3）3x4x3x22 2

2例2 已知关于x的方程m1xm

知识点三一元二次方程的解 2m1x20是一元二次方程时，则m

x23x20使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当x2时，所以x2是x3x20方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。知识点一因式分解法解一元二次方程

如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。

例用因式分解法解下列方程：

（1）5x22224x；（2）(2x3)250；（3）x6x952x。2

知识点二直接开平方法解一元二次方程

若xaa0，则x叫做a的平方根，表示为xa，这种解一元二次方程2的方法叫做直接开平方法。

（1）xaa0的解是xa；（2）xmnn0的解是22

xnm；（3）mxncm0,且c0的解是x2cn。m

2例用直接开平方法解下列一元二次方程（1）9x160；（2）x5160；（3）x53x1 222

知识点三灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程

形如axbk0k0的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方2

法解。

例运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。

（1）4x5360；（2）12x30 22

知识点四用提公因式法解一元二次方程

把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。

t2t0，将原方程变形为t0.01如：0.01t20，由此可得出2

t0或0.0t20，即t10,t2200

注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。

知识点五形如“x2abxb0a,b为常数”的方程的解法。

对于形如“xabxb0a,b为常数”的方程（或通过整理符合其形2

式的），可将左边分解因式，方程变形为xaxb0，则xa0或xb0，即x1a,x2b。

注意：应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“x2abxb0a,b为常数”型方程的特征。

2例 解下列方程：（1）x5x60；（2）xx120 2

配方法

知识点一配方法

解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含

未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。

注意：用配方法解一元二次方程x2pxq0，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。

例用配方法解下列方程：

22（1）x6x50；（2）x7x20 2

知识点二用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

（1）在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；

（2）把原方程变为xmn的形式。2

（3）若n0，用直接开平方法求出x的值，若n﹤0，原方程无解。

例 解下列方程：x4x30

知识点三用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程

当一元二次方程的形式为ax2bxc0a0,a1时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；

(2)移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为xmn的形式； 22

（3）若n0，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。

例用配方法解下列方程：

（1）3x9x20；（2）x4x30

公式法

知识点一一元二次方程的求根公式 22

bb24ac一元二次方程axbxc0a0的求根公式是：x 2a2

用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为axbxc0a0的形式，2

确定的值a,b.c（注意符号）；（2）求出b4ac的值；（3）若b4ac0，则a,b.把及22

bb24acb4ac的值代人求根公式x，求出x1,x2。2a2

例用公式法解下列方程

（1）2x3x10；（2）2xx2210；（3）x2x250 

知识点二选择适合的方法解一元二次方程

直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知

数的平方式的方程

因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式；

公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。

注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。

例用适当的方法解下列一元二次方程：

（1）2x392x3；（2）x8x60；（3）x2(x1)0 222

知识点三一元二次方程根的判别式

一元二次方程ax2bxc0a0根的判别式 △=b4ac 2

运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：

（1）△=b4ac﹥0方程有两个不相等的实数根；

（2）△=b4ac=0方程有两个相等的实数根；

（3）△=b4ac﹤0方程没有实数根；

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的值；③计算b4ac的值；④根据b4ac的符号判定方程根的情况。例不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：

（1）2x3x50；（2）9x

知识点四根的判别式的逆用

在方程axbxc0a0中，222230x25；（3）x6x100 22222

（1）方程有两个不相等的实数根b4ac﹥0 2

（2）方程有两个相等的实数根b4ac=0 2

（3）方程没有实数根b4ac﹤0 2

注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。

例m为何值时，方程2m1x4mx2m30的根满足下列情况： 2

（1）有两个不相等的实数；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根； 知识点五一元二次方程的根与系数的关系

2若x1,x2是一元二次方程axbxc0a0的两个根，则有x1x2bb，x1x2aa

根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：

（1）x1x2x1x22x1x2（2）222xx211 1

x1x2x1x2

（3）(x1a)(x2a)x1x2ax1x2a2；

（4）│x1x2│=

2x1x22=x1x224x1x2 例已知方程2x5x30的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。

（1）x1x2；（2）x1x2。222

知识点六根据代数式的关系列一元二次方程

利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。

2例当x取什么值时，代数式xx60与代数式3x2的值相等？

一元二次方程的应用

知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤

（1）审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。关键点：找出题中的等量关系。

知识点二用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题

增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为a，增长率x为，则一次增长后的值为a1x，两次增长后的值为a1x；（2）若基数为a，降低率x为，则2

一次降低后的值为a1x，两次降低后的值为a1x。2

例 某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨，设这两年的年平均增长率为x，列出关于x的方程为

知识点三用一元二次方程解与市场经济有关的问题

与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=（销售价—进货价）÷进货价×100%；

（3）销售额=售价×销售量

例 某商店如果将进货价为8 元的商品每件10元售出，每天可售200件，现在采取提高售价，减少进货价的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件。

（1）要使每天获得700 元，请你帮忙确定售价。

（2）当售价定为多少时，能使每天获得的利润最多？并求出最大利润。