高数小结论a_高数小结论

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高数小结论

1． 等价无穷小（x→0）

(1).sinxxtanxex1ln[1x]arcsinxarctanx1(2).1cosxx22(3).(1x)a1ax(4).ax1xlnax(5).1n1xnx(6).n1x1n(7).loga(1x)0x2．

xlna0|x|2时2时

sinxxtanx11cosxx22 3．如果limU1,limV则limUeVlim(U1)V4.[f(x)+f(-x)]/2表示偶函数

[f(x)-f(-x)]/2表示奇函数

5．直线L：y=kx+b 为y=f(x)的渐近线的充分必要条件为：

k=lim f(x)/x(x→∞)

b=lim [f(x)-kx](x→∞)注意：这里的∞，包括+∞和-∞ 要分开讨论 6． 常见函数的导数

(记熟后解题快)

(√x)’=1/2√x

(1/x)’=-1/x^2

(x^x)’=(x^x)(1+lnx)

7.关于n阶导数的几个重要公式

(sinx)^(n)=sin(x+nπ/2)

(cosx)^(n)=cos(x+nπ/2)

(sinkx)^(n)=k^nsin(kx+nπ/2)

(coskx)^(n)=k^ncos(kx+nπ/2)

(x^n)^(n)=n！

(a^x)^(n)=a^x(lna)^n

(e^x)^(n)=e^x

(1/t-x)^(n)=n！/(t-x)^(n+1)

(1/t+x)^(n)= n！(-1)^n/(t+x)^(n+1)

[ln(t+x)]^(n)=(n-1)！(-1)^(n-1)/(t+x)^n 8.泰勒公式(用来求极限)

sinx=x-x^3/3！+x^5/5！+o(x^6)

cosx=1-x^2/2！+x^4/4！+o(x^5)

e^x=1+x+x^2/2！+x^3/3！+o(x^3)

ln(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3+o(x^3)

(1+x)^a=1+ax+[a(a-1)/2！]x^2+o(x^2)

tanx=x+(1/3)x^3+o(x^3)

arctanx=x-(1/3)x^3+o(x^3)

cotx=1/x –x/3+o(x)

tan(tanx)=x+(2/3)x^3+o(x^3)sin(sinx)=x-(1/3)x^3+o(x^3)9． 重要不定积分

secxdx(secx)(2n2)dx(secx)2nd(tanx)(sinx)(2n1)cosx(sinx)2n1(sinx)(2n1)(cosx)(2n1)(tanx)(2n1)dx[1(cotx)2]n(cosx)(2n1)sinx(cotx)(2n1)dx dx1xdxtanC 1cosx212dxtanxsecxCC 1sinxx1tan2(secx)2nd(tanx)(tanx)dx(tanx)dx(tanx)22(secx)1(tanx)nn(cscx)2(cotx)nd(cotx)(cotx)dx(cotx)(cscx)2dx1(cotx)2 nntanxdxln|cosx|Ccotxdxln|sinx|Csecxdxln|secxtanx|Ccscxdxln|cscxcotx|C x1sin2xC24x12(cox)dxsin2xC242(sinx)dx2(tanx)dxtanxxC(cotx)2dxcotxxCdx1xarctanCx2a2aadx22x2a2ln|xxa|C

dx1xax2a22aln|xa|CdxxarcsinCa2x2aa2xx2axdxarcsinax2C2a2

2ax2x2a2dxln|xx2a2|xa2C2222axeaxecosbxdxa2b2(acosbxbsinbx)C axeaxesinbxdx(asinbxbcosbx)Ca2b210． y=sinwx(w>0)

它的半个周期与x轴围成的面积为s=2/w

把它的半个周期分成三等分,中间的那部分面积为s’=1/w

显然s=2s’

20w 1S'23wsinwxdxw3wSwsinwxdx11.定积分部分

（1）如果函数f（x）在[-a,a]上连续

aaf(x)dx[fx()fx(dx)]0a0(如果fx(为奇函数)a0)2f(xdx)如果(fx(为偶函数))（2）

coskxdx0sinkxdx0 (coskx)^2dx(sinkx)^2dx

(3).设k,lN,且kl,则coskxsinlxdx0coskxcoslxdx0

sinkxsinlxdx0(4).设f(x)是以周期为T的连续函数

(1).aTaf(x)dxf(x)dx0TT2T2f(x)dx

(2).anTaf(x)dxnf(x)dx0T(5).特殊积分



0eudueaxdx221(a0)a0w

(p0,w0)0p2w2pptecoswtdt(p0,w0)0p2w2sinxdx0x2(6).关于三角函数定积分简化(注意：f(x)是定义在[0,1]上的函数)eptsinwtdt20

20(1)f(sxindx)f(2)f(sxindx)0(xcdxos)特别的20x(dxsin)20nxndx(cos)0n20n00202fx(sdxin)(co特别的s)f2xdx20xdx(sin)xdx2(s2inx)ndx2(cos)(3)0n(cxosdx)(n为奇数)022(coxsndx)n(sxi)ndx（n为偶数）(n为奇数)(4)20042(sinx)ndx0（n为偶数）(n为奇数)(5)(cosx)ndx022042(cosx)ndx020（n为偶数）(6)(sinx)ndx(cosx)ndx00(7)2(sinx)ndxn1n3n52.........(n为正奇数)nn2n43n1n3n51.........(n为正偶数)nn2n422(8)xf(sinx)dx020f(sinx)dx

11.图像分段的函数不一定是分段函数（如y=1/x）分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线（如y=|x|）

12.如何证明一个数列是发散的？

（1）只要找到的两个子数列收敛于不同的值

（2）找一个发散的子数列 13.必记极限

n!(1)limnnn 01(2)linmnn(3)lixmxlnx0x(4)lixmx00114.函数f(x)在[a,b]有定义，且|f(x)|在[a,b]上可积，此时f(x)在[a,b]上的积分不一定存在 列如：

f(x)15． 注意 1-1x为有理数

x为无理数若f'(a)0，只能得到结论：f(x)在a点严格增加。即x(a,a)有f(x)f(a)x(a,a)有f(x)f(a);但不能得到结论：f(x)在U（a,）内单调增大16．

设f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导g(a)=0应用：求函数f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x2-3x+2)的可导的点显然为1,217.函数取得极值的第二充分条件

设f(x)在x0处n阶可导，且f'(x0)f''(x0)f'''(x0)f(n1)(x0)0f(n)(x0)0(2n)(1)n2k且f(n)(x0)0f(x0)为极大值(2)n2k且f(n)(x0)0f(x0)为极小值(3)n=2k+118.拐点的第二充分条件

f(x0)不是极值点设f(x)在x0处n阶可导（n>2且为奇数）

若f''(x)f'''(x)f则(x,f(x))为拐点0000(n1)(x)0，f0n()(x)00.用求导法判断数列的单调性 设An1f(An),AnI若f(x)在区间I上单调递增则：(1)(2)A2A1{An}A2A1{An}

注意：若f(x)在区间I上单调递减则：A2n1与A2n两数列具有相反的单调性20.题目中如果出现f''(x)0f'(x)单调 21．ln(x1x2)x(x0)22． 无穷小小谈

当x0时，有(1)当0nmxmo(xn)(2)当0nmo(xm)o(xn)o(xn)o(xm)mn(3)当0nmo(x)nx注意：两个o()不可以相除(4)当m,n0xmo(xn)o(xmn)o(xm)o(xn)o(xmn)23． 无穷个无穷小之和与无穷个无穷小之积一定都是无穷小吗？？？？？

哈哈！显然都是NO11111之和：lim()1其中(有无穷多个)nnnnnn

kn之积：取0(其中nk,1,2,3)n!1n2n3nnnn(!)n显然1nn!n!n!n!n(!)24．反三角

(1)arctxan

1arctanx2t,0t2

(2)arcsin(sint)t,a2a12t25．

求A(b)|xb|dx的最小值aa结论：当b12时21Amin(b)(a1a2)24

26.ba(xab)dx0 227．lnxdx1

010128．29． x(1x)dxxn(1x)mdx0191900mn1

作用：x(1x)dxx(1x)dx若f(x)在[a,b]上可积则f(x)dxf(abx)dxaabb这下就好求了1baf(x)dx2a[f(x)f(bx)]dx

特别的当a0时，有如下推论：b（1）f(x)dxf(bx)dx00bb1b（2）0f(x)dx20[f(x)f(bx)]dxb若f(x)在[a,b]上可积,则：30． 111110f(x)dx0x2f(x)dx20[f(x)x2f(x)]dxf2(x)C 31．f(x)f'(x)dx232．连续函数必有原函数且原函数连续，若f（x）是不连续的分段函数，则f（x）的原函数就一定不存在 33．

有极限连续

可微偏导连续 有定义偏导存在34．对

0f(sinx)dx22f(sinx)dx进行推广：0设f(x)在[0,1]上连续，且abn(n0,1,2...)有以下结论：nbf(sinx)dxaa2bnb n为偶数xf(cosx)dxf(cosx)dxaa2（2）若f(x)为偶函数，则（1）n为奇数bxf(sinx)dxnxf(sinx)dxa2bnxf(cosx)dxa2bbabf(sinx)dxf(cosx)dxa35． 线、面积分中的对称简化

（1）对弧长的曲线积分设连续且分段光滑的平面线弧L关于y轴对称，函数f(x,y)在L上有定义L 且连续，为x0的半个区域，则：

2若f(-x,y)=f(x,y)s2f(x,y)dsLf(x,y)dL2若f(-x,y)=-f(x,y)Lf(x,y)ds0例一I=(xyx2)ds,L为y=a2x2L解：I=(xyx2)dsxydsx2ds02Lx2dsLLL222a2cos2ad02a3

例二3222I(xy)ds,L为xyRL33解：I(xy)ds=xds+y（自己体会一下，为什么？）ds=0+0=0LLL（2）对坐标的曲线积分A.设连续且分段光滑的平面有向曲线弧L关于y轴对称，函数P(x,y)在L上有定义L 且连续，为x0的半个区域，则：2若P(-x,y)=P(x,y)P(x,y)dx2LP(x,y)dxL2若P(-x,y)=-P(x,y)未完待续

LP(x,y)dx0