高数小结论(完结版)_高数小结论最终版

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高数小结论

1． 等价无穷小（x→0）

(1).sinxxtanxex1ln[1x]arcsinxarctanx1(2).1cosxx22(3).(1x)a1ax(4).ax1xlnax(5).1n1xnx(6).n1x1n(7).loga(1x)0x2．

xlna0|x|2时2时

sinxxtanx11cosxx22 3．如果limU1,limV则limUeVlim(U1)V4.f(x)f(x)f(x)f(x)表示偶函数，表示奇函数

22直线L:ykxb为函数yf(x)的渐近线的充分必要条件为：5． f(x)klimblim[f(x)kx]这里的包括和xxx6． 常见函数的导数

(记熟后解题快)(x)'12x11()'2xx(xx)'xx(1lnx)

7.关于n阶导数的几个重要公式

n)2n(sinkx)(n)knsin(x)2(xn)(n)n!(sinx)(n)sin(x(ex)(n)ex1(n)(1)nn!()tx(tx)n1n)2n(cosx)(n)cos(x)2(ax)(n)(ax)(lna)n(cosx)(n)cos(x(1(n)n!)tx(tx)n1(n)

[ln(tx)](1)n1(n1)!(tx)n8.泰勒公式(用来求极限)x3x5x2x46sinxxo(x)cosx1o(x5)3!5!2!4!x2x3x2x3x3e1xo(x)ln(1x)xo(x3)2!3!23a(a1)2a(a1)(a2)3(1x)a1axxxo(x3)2!3!x31x tanxx o(x3)cotxo(x)3x311arcsinxxx3o(x3)arccosxxx3o(x3)626x3arctanxxo(x3)321tan(tanx)xx3o(x3)sin(sinx)xx3o(x3)339． 重要不定积分

secxdx(secx)(2n2)dx(secx)2nd(tanx)(sinx)(2n1)cosx(sinx)2n1(sinx)(2n1)(cosx)(2n1)(tanx)(2n1)dx[1(cotx)2]n(cosx)(2n1)sinx(cotx)(2n1)dx dx1xdxtanC 1cosx212dxtanxsecxCC 1sinxx1tan2(secx)2nd(tanx)(tanx)dx(tanx)dx(tanx)(secx)21(tanx)2nn(cscx)2(cotx)nd(cotx)(cotx)dx(cotx)(cscx)2dx1(cotx)2 nntanxdxln|cosx|C cotxdxln|sinx|Csecxdxln|secxtanx|C cscxdxln|cscxcotx|Cx1sin2xC24

x12(cox)dxsin2xC242(sinx)dx2(tanx)dxtanxxC(cotx)dxcotxxC2

dx1xarctanCx2a2aadx22ln|xxa|Cx2a2

dx1xax2a22aln|xa|CdxxarcsinCa2x2aa2xx2axdxarcsinax2C2a2 2ax2x2a2dxln|xx2a2|xa2C2222axeaxecosbxdxa2b2(acosbxbsinbx)C axeaxesinbxdx(asinbxbcosbx)C22ab10． y=sinwx(w>0)

它的半个周期与x轴围成的面积为s=2/w

把它的半个周期分成三等分,中间的那部分面积为s’=1/w

显然s=2s’

20w 1S'23wsinwxdxw3wSwsinwxdx11.定积分部分

（1）如果函数f（x）在[-a,a]上连续

（2）aaf(x)dx[fx()fx(dx)]0a0(如果fx(为奇函数)a0)2f(xdx)如果(fx(为偶函数))coskxdx0sinkxdx0 (coskx)dx(sinkx)dx22设k,lN,且k则,l(3)coskxsilnxdxcolsxdxsilnxdx000

coskxsinkx(4).设f(x)是以周期为T的连续函数

(1).aTaf(x)dxf(x)dx0TT2T2f(x)dx

(2).anTaf(x)dxnf(x)dx0T(5).特殊积分



0eudueaxdx221(a0)a0w

(p0,w0)0p2w2pptecoswtdt(p0,w0)0p2w2sinxdx0x2(6).关于三角函数定积分简化(注意：f(x)是定义在[0,1]上的函数)eptsinwtdtn0(1)20f(sinx)dx20f(cosx)dx0特别的(sinx)dx2(cosx)ndx20(2)f(sinx)dx22f(sinx)dx22f(cosx)dx00特别的(sinx)dx2(sinx)dx22(cosx)ndx0200nn(3)(cosx)ndx00(n为奇数)022(cosx)ndx0（n为偶数）(n为奇数)(4)(5)20(sinx)ndx42(sinx)ndx0（n为偶数）(n为奇数)20(cosx)ndx042(cosx)ndx0（n为偶数）(6)20(sinx)ndx20(cosx)ndx0(7)2(sinx)ndxn1n3n52.........(n为正奇数)nn2n43n1n3n51.........(n为正偶数)nn2n422

(8)xf(sinx)dx020f(sinx)dx11.图像分段的函数不一定是分段函数（如y=1/x）分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线（如y=|x|）

12.如何证明一个数列是发散的？

（1）只要找到的两个子数列收敛于不同的值

（2）找一个发散的子数列 13.必记极限

(1)limnn!0nn

(2)limnn1n(3)limxlnx0x0(4)limxx1x014.函数f(x)在[a,b]有定义，且|f(x)|在[a,b]上可积，此时f(x)在[a,b]上的积分不一定存在 列如：

f(x)15． 注意 1-1x为有理数

x为无理数若f'(a)0，只能得到结论：f(x)在a点严格增加。即x(a,a)有f(x)f(a)x(a,a)有f(x)f(a);但不能得到结论：f(x)在U（a,）内单调增大16．

设f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导g(a)=0应用：求函数f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x2-3x+2)的可导的点显然为1,217.函数取得极值的第二充分条件

设f(x)在x0处n阶可导，且f'(x0)f''(x0)f'''(x0)f(n1)(x0)0f(n)(x0)0(2n)(1)n2k且f(n)(x0)0f(x0)为极大值(2)n2k且f(n)(x0)0f(x0)为极小值(3)n=2k+118.拐点的第二充分条件

f(x0)不是极值点设f(x)在x0处n阶可导（n>2且为奇数）

若f''(x)f'''(x)f则(x,f(x))为拐点0000(n1)(x)0，f0n()(x)00.用求导法判断数列的单调性 设An1f(An),AnI若f(x)在区间I上单调递增则：(1)(2)A2A1{An}A2A1{An}

注意：若f(x)在区间I上单调递减则：A2n1与A2n两数列具有相反的单调性20.题目中如果出现f''(x)0f'(x)单调 21．ln(x1x2)x(x0)22． 无穷小小谈

当x0时，有(1)当0nmxmo(xn)(2)当0nmo(xm)o(xn)o(xn)o(xm)mn(3)当0nmo(x)nx注意：两个o()不可以相除(4)当m,n0xmo(xn)o(xmn)o(xm)o(xn)o(xmn)23． 无穷个无穷小之和与无穷个无穷小之积一定都是无穷小吗？？？？？

哈哈！显然都是NO11111之和：lim()1其中(有无穷多个)nnnnnn

kn之积：取0(其中nk,1,2,3)n!1n2n3nnnn(!)n显然1nn!n!n!n!n(!)24．反三角

(1)arctxan

1arctanx2t,0t2

(2)arcsin(sint)t,a2a12t25．

求A(b)|xb|dx的最小值aa结论：当b12时21Amin(b)(a1a2)24

26.ba(xab)dx0 227．lnxdx1

010128．29． x(1x)dxxn(1x)mdx0191900mn1

作用：x(1x)dxx(1x)dx若f(x)在[a,b]上可积则f(x)dxf(abx)dxaabb这下就好求了1baf(x)dx2a[f(x)f(bx)]dx

特别的当a0时，有如下推论：b（1）f(x)dxf(bx)dx00bb1b（2）0f(x)dx20[f(x)f(bx)]dxb若f(x)在[a,b]上可积,则：30． 111110f(x)dx0x2f(x)dx20[f(x)x2f(x)]dxf2(x)C 31．f(x)f'(x)dx232．连续函数必有原函数且原函数连续，若f（x）是不连续的分段函数，则f（x）的原函数就一定不存在 33．

有极限连续

可微偏导连续 有定义偏导存在34．对

0f(sinx)dx22f(sinx)dx进行推广：0设f(x)在[0,1]上连续，且abn(n0,1,2...)有以下结论：nbf(sinx)dxaa2bnb n为偶数xf(cosx)dxf(cosx)dxaa2（2）若f(x)为偶函数，则（1）n为奇数bxf(sinx)dxnxf(sinx)dxa2bnxf(cosx)dxa2bbabf(sinx)dxf(cosx)dxa35． 线、面积分中的对称简化

（1）对弧长的曲线积分设连续且分段光滑的平面线弧L关于y轴对称，函数f(x,y)在L上有定义L 且连续，为x0的半个区域，则：

2若f(-x,y)=f(x,y)s2f(x,y)dsLf(x,y)dL2若f(-x,y)=-f(x,y)Lf(x,y)ds0例一I=(xyx2)ds,L为y=a2x2L解：I=(xyx2)dsxydsx2ds02Lx2dsLLL222a2cos2ad02a3

例二3222I(xy)ds,L为xyRL33解：I(xy)ds=xds+y（自己体会一下，为什么？）ds=0+0=0LLL（2）对坐标的曲线积分A.设连续且分段光滑的平面有向曲线弧L关于y轴对称，函数P(x,y)在L上有定义L 且连续，为x0的半个区域，则：2若P(-x,y)=P(x,y)P(x,y)dx2LP(x,y)dxL2若P(-x,y)=-P(x,y)例一LP(x,y)dx0Ixy(ydxxdy),其中L为yR2x2,方向为从左到右LLLLL解:Ixy(ydxxdy)xy2dxx2ydy0x2ydy0(这要用到下面B的结论)例二解： 2222222Ixydy,其中L为双纽线的右半支：(x+y)=a(x-y),x0的逆时针方向L

由于图像关于x轴对称，则I0B.设连续且分段光滑的平面有向曲线弧L关于y轴对称，函数P(x,y)在L上有定义且在左半平面部分L1与右半平面部分L2方向相反，则：若P(-x,y)=P(x,y)若P(-x,y)=-P(x,y)LP(x,y)dy0(上面讲到的就是用的这个结论)LP(x,y)dy2P(x,y)dyL1

注意：这里的方向相反是指：关于哪个轴对称就关于谁的方向相反对于关于x轴对称的情况就不写了，其实是一个道理！一定要把A,B好好的比较看看两者之间的区别与联系例一Ix|y|dx,其中L为y2x上从A(1,1)到B(1,1)的一段弧L解：L关于x轴对称且方向相反且被积函数x|y|为y的偶函数故I=0例二Idxdy,其中ABCD是A(1,0)B(0,1)C(-1,0)D(0,-1)为ABCD|x||y| 顶点的正方形的边界线，方向为逆时针方向dxdy解：I+ABCD|x||y|ABCD|x||y|第一部分积分：曲线关于x轴对称，且方向相反，而函数是y的偶函数，故积分为0，同理第二部分积分也为0故I=0(3)对面积的曲面积分设分片光滑的曲面关于yoz平面对称，f(x,y,z)在上连续，则有：当f(-x,y,z)=-f(x,y,z)时，当f(-x,y,z)=f(x,y,z)时对于关于zox,xoy的平面对称有类似的性质1|x||y|2是中x0的一半

f(x,y,z)ds0f(x,y,z)dsf(x,y,z)ds=22例一I2222(xyz)ds,其中为球面xyza上z（h0

解：关于xoz面对称，故Izxds(4)对坐标的曲面积分设分片光滑的曲面关于yoz面对称，函数p(x,y,z)在上连续，一半，则：当f(-x,y,z)=f(x,y,z)时，当f(-x,y,z)=-f(x,y,z)时2是中x0的f(x,y,z)dydz0f(x,y,z)dydz=2f(x,y,z)dydz2例一I的部分。xyzdxdy,其中是球面x2y2z21的外侧在x0,y0解：关于xoy面对称，故I例二2xyzdxdy2xyzdxdy52

I=x2dydzy2dzdxz2dxdy,其中为曲线弧段z=y2(x0,1z4)绕z轴旋转所成的旋转曲面的非封闭侧。解：显然曲面关于yoz,zox面对称，故Iz2dxdy21

36．轮换对称性在积分计算中的应用举例

1.设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，D对坐标x,y具有轮换对称性，则：f(x,y)dxdyf(y,x)dxdyDD

何为轮换对称性：将x,y互换后D不变

例一I(3x2y)dxdy,其中D为xy2与两坐标轴围成D解：D关于x,y具有轮换对称性，则:I例二I(3x2y)dxdy=D(3y2x)dxdyD520

(xy)dxdy5xdxdy23DDx2y2R2(y2x2)dxdy解：Ix2y2R2(y2x2)dxdyx2y2R2(x2y2)dxdyI,故I02.设函数f(x,y,z)在空间有界闭区域上连续，对坐标x,y具有轮换对称性，则：f(x,y,z)dvf(y,x,z)dv例一求(xyz)dv,为x0,y0,z0,x2y2z2R2解：由于积分区域关于x,y,z具有轮换对称性，则：xdv=ydvzdv(xyz)dv3zdv3R416例二求I(zx2y2)dv,为zx2y2和z（hh0）围成的区域解：积分区域关于x,y具有轮换对称性I(zx2y2)dv(zy2x2)dv132zdvh23

3.设L是xoy面上一条光滑的曲线弧，L对坐标x,y具有乱换对称性，f(x,y)在L上连续，则：f(x,y)dsf(y,x)dsLL例一Ixds,L为星形线xyaL232323232323解：显然L对x,y具有乱换对称性，则：222511Ixdsyds(x3y3)dsa3ds3a32L2LLL例二22222求(xz)ds,F是圆周xyzR,xyz0F解：F关于x,y,z具有乱换对称性，则：xds=yds=zds,FFF2222xds=yds=zdsFFF11R2222故(xz)ds(xyz)ds(xyz)ds3F3F3F2R3ds3 F4.设L是xoy面上一条光滑的或者分段光滑的有向曲线弧，L对坐标x,y具有轮换对称性，f(x,y)在L上连续，则：f(x,y)dsf(y,x)dsLL

或者f(x,y)ds+f(y,x)ds=0LL例一Iydxxdy,L为xyR上A(R,0)到B(0,R)的一段弧L解：L对坐标x,y具有轮换对称性，故ydxxdy=0L例二2222Iydxydx,L为双纽线(xy)2axy位于第一象限部分L2323

取逆时针方向解：L关于x,y具有轮换对称性，则ydxxdy=0L23235.设是光滑曲面或者分片光滑曲面，对坐标x,y具有轮换对称性，f(x,y,z)在上连续，则：f(x,y,z)dsf(y,x,z)ds11I(x2y2z2)ds,:x2y2z2R224解：1111I(x2y2z2)ds(1)z2ds24241117(1)(x2y2z2)dsR42433例二I解：2222(axbycz)ds,:xyzR位于第一挂限部分例一xdsydszds222xdsydszds

1I(abc)zdsR3(abc)46.设是光滑曲面或者分片光滑曲面，对坐标x,y具有轮换对称性，f(x,y,z)在上连续，则：

f(x,y,z)dydzf(y,x,z)dzdx例一I(0zh)的外侧(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy,为zx2y2解：关于x,y具有轮换对称性，则：(yz)dydz=(xz)dxdz所以I0例二I(xy)dxdy(yx)dydx0xydydzyzdzdxzxdxdy,为平面xyz1位于第一挂限的外侧解：关于x,y,z具有轮换对称性，则：xydydzzydydxzxdxdy

1I3xydydz8

37.广义的罗尔定理

设f(x)满足：(1)在区间(a,)上连续(2)在区间(a,)内可导(3)limf(x)limf(x)xax则：a使得f'()0

38.需要记忆的反例

(1)(2)f(x)|x|在x0处不可导f(x)1f(x)0x0x0在x0点不可导应用：设f(0)0,则f(x)在x0点处可导的充分必要条件为: f(1cosh)f(1eh)(A)lim存在(B)lim存在2h0h0hhf(hsinh)f(2h)f(h)(C)lim存在(D)lim存在h0h0h2h用(1)检验AC,用(2)检验D,答案为B(1)若','且lim39.11 则：()('')(2)若','且lim则：()('')40.特别要注意的地方

设f(x)为(,)上的连续，函数F(x)为f(x)的一原函数，则：(1)f(x)为奇函数f(x)任意原函数F(x)为偶函数(2)f(x)为偶函数f(x)的原函数只有一个是奇函数,即为f(t)dt0x(3)f(x)任意原函数F(x)为周期函数f(x)为周期函数(4)f(x)以T为周期的函数且f(x)dx0f(x)任意原函数F(x)以T为周期0T

(5)函数的单调性与其原函数的单调性之间没有逻辑上的因果关系