届高考数学总结精华版第十五章复数_高考数学公式理科总结

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高中数学第十五章 复数

考试内容：

复数的概念．

复数的加法和减法．

复数的乘法和除法．

数系的扩充．

考试要求：

（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．

（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．

（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．

§15.复 数知识要点

1.⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i21.⑵复数及其相关概念：

① 复数—形如a + bi的数（其中a，bR）；

② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；

③ 虚数—当b0时的复数a + bi；

④ 纯虚数—当a = 0且b0时的复数a + bi，即bi.⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义：

abicdiac且bd（其中，a，b，c，d，R）特别地abi0ab0.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若z1,z2为复数，则1若z1z20，则z1z2.（×）[z1,z2为复数，而不是实数] 2若z1z2，则z1z20.（√）

②若a,b,cC，则(ab)2(bc)2(ca)20是abc的必要不充分条件.（当(ab)2i2，(bc)21,(ca)20时，上式成立）

2.⑴复平面内的两点间距离公式：dz1z2.其中z1，z2是复平面内的两点z1和z2所对应的复数，d表示z1和z2间的距离.由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：zz0r（r0）.⑵曲线方程的复数形式： ①zz0r表示以z0为圆心，r为半径的圆的方程.②zz1zz2表示线段z1z2的垂直平分线的方程.③zz1zz22a（a0且2az1z2Z1，Z2为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程

（若2az1z2，此方程表示线段Z1，Z2）.④zz1zz22a（02az1z2表示以Z1，Z2为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若2az1z2，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：

设z1，z2是不等于零的复数，则 ①z1z2z1z2z1z2.左边取等号的条件是z2z1（R，且0），右边取等号的条件是z2z1（R，0）.②z1z2z1z2z1z2.左边取等号的条件是z2z1（R，0），右边取等号的条件是z2z1（R，0）.注：A1A2A2A3A3A4An1AnA1An.3.共轭复数的性质：

zzz1z2z1z2

zz2a，zz2bi（za + bi）zz|z|2|z|2

z1z2z1z2z1z2z1z2

z1z2z1（z20）zn(z)n z2

nzzz...z(nN)

n注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] 4 ⑴①复数的乘方：z

②对任何z，z1,z2C及m,nN有

③nzmznzmn,(zm)nzmn,(z1z2)nznz12

42(i)12注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i21,i41若由i21就会得到11的错误结论.②在实数集成立的|x|x2.当x为虚数时，|x|x2，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：

i21,i4n1i,i4n21,i4n3i,i4n1

inin1in2in30,(nZ)

(1i)22i,若

31i1ii,i 1i1i112是的2立n方n1虚n2数根，即123i2，,,10,0(nZ)则 1 , .5.⑴复数z是实数及纯虚数的充要条件：

①zRzz.②若z0，z是纯虚数zz0.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同

一复数.特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：|z||z|.6.⑴复数的三角形式：zr(cosisin).辐角主值：适合于0≤＜2的值，记作argz.注：①z为零时，argz可取[0,2)内任意值.②辐角是多值的，都相差2的整数倍.③设aR,则arga0,arg(a),argai

⑵复数的代数形式与三角形式的互化：

abir(cosisin)，ra2b2，cos3,arg(ai).22ab,sin.rr

⑶几类三角式的标准形式：

r(cosisin)r[cos()isin()]

r(cosisin)r[cos()isin()]

r(cosisin)r[cos()isin()]

r(sinicos)r)isin()] 22

7.复数集中解一元二次方程：

在复数集内解关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)时，应注意下述问题： ①当a,b,cR时，若＞0，则有二不等实数根x1,2

根x1,2b；若=0，则有二相等实数2ab|ib；若＜0，则有二相等复数根x1,2（x1,2为共轭复数）.2a2a

②当a,b,c不全为实数时，不能用方程根的情况.③不论a,b,c为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.8.复数的三角形式运算：

r1(cos1isin2)r2(cos2isin2)r1r2[cos(12)isin(12)] r1(cos1isin2)r1[cos(12)isin(12)] r2(cos2isin2)r2

棣莫弗定理：[r(cos

isin)]nrn(cosnisinn)