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1.2 矢量
1.2.1 矢量、矢量基与基矢量(1)几何矢量定义(2)几何矢量的运算(3)几何矢量的运算性质(4)一些有用的公式(5)矢量基(简称基)
矢量基的定义与基矢量的右旋正交性 基的矢量列阵的表达，矢量列阵的运算 1.2.2 矢量的代数描述
(1)矢量在某基下的代数表达、坐标阵与坐标方阵(2)矢量坐标阵的矩阵表达形式(3)矢径的定义；矢量与矢径间的关系
(4)几何矢量的运算与在同一个基下的坐标阵运算间的关系。1.2.3 矢量的导数
(1)矢量对时间导数的定义，矢量在某基下对时间导数的定义(2)在某基下矢量导数的运算与其坐标阵导数运算间的关系
几何矢量定义
矢量是一个具有方向与大小的量。它的大小称为模，记为，或简写为a。模为 1 的矢量称为单位矢量。模为0的矢量称为零矢量，记为。
矢量在几何上可用一个带箭头的线段来描述，线段的长度表示它的模，箭头在某一空间的指向为它的方向。利用这种方式描述的矢量又称为几何矢量。几何矢量的运算
矢量相等
模相等、方向一致的两矢量与
称为两矢量相等，记为
标量与矢量的积
(1.2-1)
标量与矢量的积为一个矢量，记为，其方向与矢量
一致，模是它的 倍，即
矢量的和(平行四边形法则)
(1.2-2)
(a)
图1-1 几何矢量运算
(b)
两矢量与 的和为一个矢量，记为，即
(1.2-3)
它与两矢量 与 的关系遵循如图1-1a的平行四边形法则
矢量的点积(标积)
两矢量与 的点积(或称为标积)为一个标量，记为，它的大小为
(1.2-6)
其中 为两矢量与 的夹角。如果已知两矢量的点积，可以由上式计算两矢量夹角，即
特殊情况，为。，此时 =0，有，即矢量自身的点积为其模的平方。有时也简写矢量的叉积(矢积)
两矢量与 的叉积(或称为矢积)为一个矢量，记为，即
(1.2-8)
它的方向垂直于两矢量 与 构成的平面，且三矢量、、的正向依次遵循右手法则(见图1-1b)。定义矢量 的模为
(1.2-9)
其中 为两矢量 与的夹角。
几何矢量的运算性质
加法运算遵循结合律与交换律
矢量的和运算遵循结合律与交换律，即有
结合律：交换律：
(1.2-4)(1.2-5)矢量的点积的交换律 矢量的点积有交换律，即
矢量的叉积无交换律 矢量的叉积无交换律，但有
矢量的点积与叉积的分配律 矢量的点积与叉积有分配律，即
一些有用的公式
由矢量的基本运算可以得到如下常用的较复杂的运算关系式：
式(1.2-13)左边称为三矢量的两重叉积，式(1.2-14)左边称为三矢量的混合积。矢量基的定义与基矢量的右旋正交性
(1.2-7)
(1.2-10)(1.2-11)(1.2-12)(1.2-13)(1.2-14)
图1-2 矢量基与基矢量
矢量的几何描述很难处理复杂的运算。通常采用比较多的是矢量的代数表达方法。为此首先需要构成一个参考空间，即用过点O 的三个正交的单位矢量这个基的基矢量。根据三个基矢量的正交性，有如下的关系式
依次按右手法则(见图1-2)构成一个坐标系，称之为矢量基(简称基)。点O 称为该矢量基的基点。这三个正交的单位矢量称为
其中，称为克罗内克(L.Kronecker)符号，即
(1.2-15)(1.2-16)
(1.2-17)
(, =1,2,3)
而称为李奇(Ricci)符号，即
(, , =1, 2, 3，且)
(1.2-18)
基的矢量列阵的表达，矢量列阵的运算
将基矢量构成一个矢量列阵，即
（1.2-19）
它来表示这个矢量基。对于不同的基，在上加上标进行区分。例，基与基r，即
与基分别表示基b,矢量列阵是标量列阵的拓展。矢量阵运算的定义在形式上与一般的矩阵运算定义一致，只是在运算中将一个矢量作为一个标量元素处理。例如对于矢量阵矢量与矢量阵的点积运算：
与矢量，以下算式成立：
（1.2-20），矢量与矢量阵的叉积运算：
（1.2-21）
矢量阵与矢量阵的点积运算：
（1.2-22）
矢量阵与矢量阵的叉积运算：
（1.2-23）
需要注意的是以上的算式中点积与叉积的运算符不能遗漏，对于叉积运算的次序不能交换。考虑到3个基矢量的归一性和右旋正交性，（1.2-22）与（1.2-23）分别可化简为
（1.2-24）
（1.2-25）
矢量在某基下的代数表达、坐标阵与坐标方阵
图1-3 矢量在基上的分矢量与坐标
在某个矢量基上，根据矢量和的定义，任意矢量矢量运算表达式为
可通过如图1-3所示三个矢量的和表示，其
其中、与分别为与基矢量方向一致的三个矢量，称它们为矢量
（1.2-26）
在相应基矢量上的三个分矢量，或简称为分量。三个标量系数a1, a2, a3分别称为矢量它们分别为三个分矢量的模。这三个坐标构成一个标量列阵称为矢量记为
在三个基矢量上的坐标。在该矢量基上的坐标阵，（1.2-27）
三个坐标还可定义一个反对称方阵，记为
（1.2-28）
称此方阵为矢量在该矢量基上的坐标方阵。不难验证，此坐标方阵成立
例题1.图示一长方体，其中在该基上的坐标阵与坐标方阵。。图中给出了基
（1.2-29）
。写出矢量
例1.2-1图
解：由图可知，矢量可表为图中三矢量
之和。由于，故有，因此，矢量在该基上的坐标阵为
坐标方阵为
矢量坐标阵的矩阵表达形式 利用矩阵乘的运算形式，有
据此，表达式
可写成矢量的坐标阵与基的矩阵积，即
不难验证矢量的坐标阵a有如下的表达式
(1.2-30)
(1.2-31)
因此，矢量的坐标阵a可简写为
(1.2-31')
应该指出，根据定义矢量在几何上是一客观存在的量，与矢量基的选取无关。而矢量的坐标阵与矢量基有关。例如，有两个不同的矢量基(见图1-5)。有
与
。矢量
在这两个基上的坐标阵分别记为
与
图1-5 同一个矢量在不同基上的坐标阵
或
(1.2-32)
(1.2-32')
矢径的定义，矢量与矢径间的关系
图1-4 矢径的分量与坐标
起点在基点O指向空间点P的矢量，称为点P的矢径，记为标分别为r1, r2, r3，由图1-4可知，矢径
。如果空间点P在基上的三个坐
坐标阵的三个元素就是空间点P的三个坐标，即
特殊情况，基矢量、与
在其的基下的坐标阵分别为，矢量的运算与坐标阵运算间的关系
首先令矢量、与在基下的坐标阵分别记为a，b与c。由矢量的矩阵表达式，有
则由两矢量相等得到
(1.2-33)(1.2-34)(1.2-35)
可见相等的两矢量与的在同一个基上的坐标阵相等，即a = b；反之亦然。
将矢量的矩阵表达式分别代入矢量的数乘公式、矢量相加公式、矢量点积公式和矢量叉积公式，得到相应的矩阵运算公式，即，上述各表达式的左边为一些矢量的基本运算，各表达式的最右边为这些基本运算在同一基下对应的坐标阵运算式。现列于表1.2-1中。根据表1.2-1读者可很容易写出较复杂的矢量运算对应的坐标阵运算式。
矢量对时间导数的定义，矢量在某基下对时间导数的定义
图1-6 矢量对时间的导数
上节已经提到，矢量是一与参考基无关的数学量，故它随时间的变化也与参考基无关。如图1-6所示，在时刻t，该矢量的大小与方向为，到时刻t+t，该矢量的大小与方向为，且，定义矢量在时刻t对时间的导数是另一个矢量，记为
(1.2-36)
从几何上考察或进行矢量导数的运算极不方便。下面将讨论矢量导数与其坐标阵导数的关系。尽管矢量对时间的导数与参考基无关，但在不同的参考基上考察同一个矢量的变化，其结果将不同。现在某一参考基上考察一个矢量。定义为矢量在参考基
上对时间的导数。
在基上考察它自身的三个基矢量
(i=1,2,3)，显然在该基上它们不随时间变化，有
(i=1,2,3)
(1.2-37)
将矩阵对时间导数的表达式推广到矢量阵，故上式可简写为如下矩阵表达式：
由矢量的矩阵表达式，有
(1.2-37')
(1.2-38)
同理，(1.2-38')
由此可得到如下结论，矢量基
在基上对时间的导数为一矢量，它在该基的坐标阵等于矢量在的坐标阵对时间的导数。
显然，对于标量，对时间求导的左上标r无意义，即定义的参考基
。对于矢量求导，如果所为公认或在约定的情况下，为了书写方便有时矢量求导的表达式也作如下的简写，即。读者应该注意识别。
求矢量在基
上对时间的导数 解：矢量在基的坐标阵为。由式(1.2-38)，该矢量在基上对时间的导数为
在某基下矢量导数的运算与其坐标阵导数运算间的关系
由矢量对时间导数的定义与矩阵对时间导数的公式，不难得到一些矢量运算在某基下对时间导数的矢量运算式，现列于表1.2-2的左列。根据矢量在某基下对时间的导数式，或
表1.2-2左列的矢量运算式对应的坐标运算式为表1.2-2右列所示。例如，对于表1.2-2第一行的左列，其左边可表为
其右边为
将以上两式代入表1.2-2第一行的左列，考虑到同一基下坐标阵相等，可得到相应的矩阵式如表1.2-2第一行的右列。读者不难类似推导表中后3行的对应关系。表中最后一行的推导，用到了如下关系式，读者不难给予证明。
（1.2-39）对于例1.2-5的矢量，可以理解为三个矢量相加，该例也可利用表1.2-2的第二行的关系求解。即直接对矢量求导，有
