求数列通项公式的方法总结史上最全的吐血分享[推荐]_数列求通项方法全总结

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求数列通项公式的方法总结史上最全的各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。

类型1an1anf(n)

解法：把原递推公式转化为an1anf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1.已知数列an满足a111，an1an2，求an。2nn

变式: 已知数列{an}中a11，且a2k=a2k－1+(－1)K,a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….（I）求a3, a5；（II）求{ an}的通项公式.类型2an1f(n)an

解法：把原递推公式转化为

例1:已知数列an满足a1

例2:已知a13，an1an1f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。an2nan，求an。，an13n13n1an(n1)，求an。3n2

变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，ana12a23a3(n1)an1(n≥2)，则{an}的通项an

类型3an1panq（其中p，q均为常数，(pq(p1)0)）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an1tp(ant)，其中t

例:已知数列an中，a11，an12an3，求an.变式:（2006，重庆,文,14）

在数列an中，若a11,an12an3(n1)，则该数列的通项an_______________

变式:（2006.福建.理22.本小题满分14分）

已知数列an满足a11,an12an1(nN*).（I）求数列an的通项公式；

（II）若数列{bn}滿足41424n

（Ⅲ）证明：b1b1b1n11___n2q，再利用换元法转化为等比数列求解。1p(an1)bn(nN*),证明：数列{bn}是等差数列； an1a1a2n...n(nN*).23a2a3an12

类型4an1panqn（其中p，q均为常数，(pq(p1)(q1)0)）。（或an1panrqn,其中p，q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以q系数法解决。

例:已知数列an中，a1n1，得：an1pan1anp1bb引入辅助数列（其中），得：再待定bbn1nnnn1nnqqqqqqq511n1,an1an()，求an。632

412an2n1，n1,2,3, 333变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分）设数列an的前n项的和Sn

n

32n

（Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设Tn，n1,2,3,，证明：Ti

2Sni1

类型5 递推公式为an2pan1qan（其中p，q均为常数）。

解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为an2san1t(an1san)其中s，t满足

stp

stq

解法二(特征根法)：对于由递推公式an2pan1qan，a1,a2给出的数列an，方程x2pxq0，叫做数列an的特征方程。

n1n1

若x1,x2是特征方程的两个根，当x1x2时，数列an的通项为anAx1，其中A，B由a1,a2决定（即把a1,a2,x1,x2和Bx2n1n1n1

代入anAx1，得到关于A、B的方程组）；当x1x2时，数列an的通项为an(ABn)x1，其中A，B由a1,a2n1,2，Bx2n1

决定（即把a1,a2,x1,x2和n1,2，代入an(ABn)x1，得到关于A、B的方程组）。

解法一（待定系数——迭加法）:

数列an：3an25an12an0(n0,nN)，a1a,a2b，求数列an的通项公式。例:已知数列an中，a11,a22,an2变式:

1.已知数列an满足a11,a23,an23an12an(nN*).（I）证明：数列an1an是等比数列；（II）求数列an的通项公式；（III）若数列bn满足4142...4n

b1b1

b1

an1an，求an。33

(an1)bn(nN*),证明bn是等差数列

2.已知数列3.已知数列

an中，a11,a22,an22an11an，求an

an中，Sn是其前n项和，并且Sn14an2(n1,2,),a11，an12an(n1,2,)，求证：数列bn是等比数列；



an,(n1,2,)，求证：数列cn是等差数列；⑶求数列an的通项公式及前n项和。n2

⑴设数列bn

⑵设数列cn

类型6 递推公式为Sn与an的关系式。(或Snf(an))解法：这种类型一般利用an去an进行求解。

例：已知数列an前n项和Sn4an

S1(n1)

与anSnSn1f(an)f(an1)消去Sn(n2)或与Snf(SnSn1)(n2)消

SS(n2)n1n

12n2

.（1）求an1与an的关系；（2）求通项公式an.（2）应用类型4（an1panqn（其中p，q均为常数，(pq(p1)(q1)0)））的方法，上式两边同乘以2由a1S14a1

n1

得：2n1an12nan2

1nnn

a1a.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以 2a22(n1)2n2a1nnn

2122n1



变式:（2006，陕西,理,20本小题满分12分)

已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an变式:(2005,江西,文,22．本小题满分14分）

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3()

n

1(n3),且S11,S2,求数列{an}的通项公式.类型7 an1pananb(p1、0，a0)

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an1x(n1)yp(anxny)，与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为

anxny是公比为p的等比数列。

例:设数列an：a14,an3an12n1,(n2)，求an.变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分）已知数列｛an｝中，a1

1、点（n、2an1an）在直线y=x上，其中n=1,2,3…2

(Ⅰ)令bnan1an3,求证数列bn是等比数列；(Ⅱ)求数列an的通项；(Ⅲ)设SSnTn

n、Tn分别为数列an、bn的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在试求出n

类型8 arn1pan(p0,an0)

解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为an1panq，再利用待定系数法求解。例：已知数列｛an｝中，a11,an1

1a

a2

n(a0)，求数列an的通项公式.变式:（2005，江西,理,21．本小题满分12分）已知数列{a1

n}的各项都是正数,且满足:a01,an1

an(4an),nN.（1）证明anan12,nN;（2）求数列{an}的通项公式an.变式:（2006,山东,理,22,本小题满分14分）

已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；

（2）设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项； 记bn=

11，求｛b2

n｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1a

nan23Tn1

类型9 a(n)an

n1

fg(n)ah(n)

解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为an1panq。

n例：已知数列｛an｝满足：an

an1

3a,a11，求数列｛an｝的通项公式。

n11

变式:（2006，江西,理,22,本大题满分14分）1.已知数列｛an｝满足：a1＝

33nan－12，且an＝2a1

n2，nN）n－1＋n－（1）求数列｛an｝的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1a2……an2n！

2、若数列的递推公式为a1

3,1a1

2(n)，则求这个数列的通项公式。n1an3、已知数列{an}满足a11,n2时，an1an2an1an，求通项公式。

4、已知数列｛an｝满足：an



an1

3a,a11，求数列｛a｝的通项公式。

n11

n5、若数列｛an｝中，a1=1，an1=

2an

an∈N，求通项an．

n2

类型10apanq

n1

ra

nh

不存在,则说明理由.解法：如果数列{an}满足下列条件：已知a1的值且对于nN，都有an1

panqh

（其中p、q、r、h均为常数，且phqr,r0,a1），rranh

那么，可作特征方程x等比数列。

1ax1pxq,当特征方程有且仅有一根x0时,则则n是等差数列;当特征方程有两个相异的根x1、x2时，是

axaxrxhn0n2

例：已知数列{an}满足性质：对于nN,an1

an4,且a13,求{an}的通项公式.2an3

13an25

.an3

例：已知数列{an}满足：对于nN,都有an1

（1）若a15,求an;（2）若a13,求an;（3）若a16,求an;（4）当a1取哪些值时，无穷数列{an}不存在？ 变式:（2005，重庆,文,22,本小题满分12分）

数列{an}满足a11且8an1an16an12an50(n1).记bn

11an

(n1).（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn.类型11 an1anpnq或an1anpqn

解法：这种类型一般可转化为a2n1与a2n是等差或等比数列求解。

例：（I）在数列{an}中，a11,an16nan，求an（II）在数列{an}中，a11,anan13n，求an 类型12 归纳猜想法 解法：数学归纳法

变式:（2006，全国II,理,22,本小题满分12分）

设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an类型13双数列型

解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。

例：已知数列an中，a11；数列bn中，b10。当n2时，an

类型14周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

(2an1bn1),bn(an12bn1)，求an,bn.33

例：若数列an满足an1

1

2a,(0a)nn62，若a1，则a20的值为___________。

72a1,(1a1)

nn2

变式:（2005，湖南,文，5）已知数列{an}满足a10,an1

an33an1

(nN*)，则a20=

（）

A．0

B． C．

D．