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有关微分与积分章节知识点的总结
姜维谦PB0820706
3一元函数的积分
一．求不定积分
1.积分基本公式
2.换元积分法
凑微分法∫f(u(x))u’(x)dx=∫f(u(x))du(x)=F(u(x))+C
第二换元法∫f(x)dx=∫f(u(t))u’(t)dt=F(u-1(x))+C
注意：x=u(t)应单调（可以反解）—不单调时应分类讨论(e:g开方去绝对值时)
3.分部积分法
∫u(x)dv(x)=u(x)v(x)-∫v(x)du(x)
适用于解异名函数“反对幂三指”（与dx结合性递增）
应用：解二元方程，递推式
e.g:①In=∫(lnx)n(次方)dx,n>=
1②In=∫dx/(x2+a2)^n(次方)，n>=1
4.模式函数：有理函数类
⑴整形分式—部分分式法（通解）
∫P(x)/Q(x)dx——分离常数得既约真分式与多项式——Q(x)因式分解化为部分分式和 ——待定系数后比较系数（还可以结合赋值，求导数，取极限等）
——化为Ik=∫dx/(x-a)^k(次方)类与Jk=∫(Bx+C)/(x2+bx+c)^k(次方)dx类积分 ⑵三角有理式
㈠万能代换（通解）
㈡特殊代换R(cosx,sinx)=-R(cosx,-sinx)
R(cosx,sinx)=-R(-cosx,sinx)
R(cosx,sinx)=R(-cosx,-sinx)
⑶可有理化的无理式
㈠三角换元
㈡代数换元∫R(x,(ax+b)/(cx+d)^1/m(次方))
∫R(x,(ax2+bx+c)^1/2(次方))——Euler代换消除平方项
注：三角有理式，可有理化的无理式均可以通过代换转化为标准有理函数形式后积分，但通解过程均较繁琐。故而在求解有理函数类积分时应适当考虑凑配，变形等技巧并 利用上述1.2.3.常用方法简化运算详见书P103
一．求定积分
1.N-L公式（形式直接易求）∫
在[a,b]上连续，x在[a,b]上)(积分形式的微积分基本定理)
~微分形式：F(x)=是f(t)的一个原函数 2.Riemann积分
步骤：分割——求和近似——取极限
~求极限（T
(注意x对应的上下限)
3.换元法
’(t)dt
注：①只需注意上下限的变化（不同积分变元）
②变量代换思路：被积函数，积分上下限，无穷积分与常义积分的转化
③观察利用被积函数在积分区间上的对称关系
&
e.g:Im=次方)dx=次方)dx
5.∞)
Cauchy
主值V.P.lim∫
V.P.lim∫∫
广义积分也可以用上述1.3.4.解法求解
注：求定积分时应结合分项积分与分段积分
二．积分的性质运用
1.单调性2.有界性3.积分绝对值三角不等式（Riemann和理解）
——用于放缩为“易积分形式”如常值积分
4.区间加合性 5.积分中值6.定理4.1.11
——有关积分不等式的证明
结合微分中值定理
结合Rolle定理
7．线性8.对称性
F＇(x)=(=f(x)）’=f(Ψ(x))φ’(x)-f(φ(x))φ’(x)
---积分式求导—注意区分各步的积分与微分变元
~1.研究函数极值、拐点、单调性
2.结合R’H法则求极限
3．Rolle定理
五．定积分的应用举例（详见书）
一元函数的微分
一．导数的求解
1.根据导数的定义
F’(x0)=lim(f(x)-f(x0))/(x-x0)(x->x0)
~间断点可导性判断：比较limf’(x0)（x->x0）与lim(f(x)-f(x0))/(x-x0)(x->x0)
2.复合函数
（f-1(y0)）’=1/f’(x0)(f(x)=f-1(y))
3.高阶导数
㈠Leibniz定理（uv）^(n)(n阶导数)=Σ
㈡化积商形式为和差形式
e.g:y=Pn(x)
y=㏑(ax+b)&(c/(ax+b))^(n)
sinx^(n)=sin(x+nπ/2)
~求递推关系
三．重要定理的运用
Rolle——证明ε存在性的等式（微分式的转化）
注意①辅助函数的构造
②f(a)=f(b)形式
Lagrange中值——证明不等式
求未定式极限
求函数导数
~研究函数性质——单调性—不等式证明
求极小（大）值、最值
凹凸性判断㈠定义㈡f’’(x)
渐近线求法①垂直渐近线②非垂直渐近线
Cauchy中值——证明不等式
求未定式极限
L’H法则注：①l可以无穷大，x0任意
②适用于0/0、∞/∞型，其他形式未定式应做适当转化
Taylor公式——等价无穷小量
有关ε的恒等式证明
四．求未定式极限
㈠R’H法则（仅适用于未定式）
㈡中值定理
㈢重要极限~幂指函数的转化
㈣等价无穷小量（因子替换）
㈤Taylor展开---统一形式
注：各种极限求法各有其使用范围，在具体求解过程中还应考虑比较优化、综合运用
结语：由于个人对知识的理解有限，所以只能在知识点方面作出一点总结，而无法就某个方面作深入的探讨。另外，鉴于本人对Word中数学语言表述的能力更加有限，在一些语言和
知识点上无法详细阐明，并且版面质量较差，敬请见谅姜维谦（PB08207063）
