学生~第4讲_数学归纳法_第39讲数学归纳法

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第4讲 数学归纳法

基础梳理

1．归纳法 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法．

2．数学归纳法

(1)数学归纳法：设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合，如果：①证明起始命题或成立；②在假设{Pn}对一切正整数成立．

(2)用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：

①归纳奠基：证明当取第一个自然数n0时命题成立；

②归纳递推：假设n＝k，(k∈N*，k≥n0)时，命题成立，证明当时，命题成立； ③由①②得出结论．

考向一 用数学归纳法证明等式

【例1】 用数学归纳法证明：

对任意的n∈N*，考向二 用数学归纳法证明整除问题

【例2】►是否存在正整数m使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9对任意自然数n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

111n1×33×52n－12n＋12n＋

1【训练2】 用数学归纳法证明an＋1＋(a＋1)2n－1(n∈N*)能被a2＋a＋1整除．

考向三 用数学归纳法证明不等式

1

【例3】►用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式1＋3

12n＋11

1＋5·1＋2n－1>…·

2均成立． 

【例4】等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的nN，点(n均在函数ybr(b0,S)n，且b1,b,r均为常数)的图像上.（1）求r的值;

（11）当b=2时，记bn2(log2an1)(nN)证明：对任意的nN，不等式





x

b1b11b21

····n b1b2bn

【训练3】 已知函数f(x)＝33－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．试比较

1＋a1＋

1111的大小，并说明理由． 1＋a21＋a31＋an

考向四 归纳、猜想、证明

【例5】►数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．

[审题视点] 利用Sn与an的关系式求出{an}的前几项，然后归纳出an，并用数学归纳法证明．

1【训练4】 由下列各式1＞2，1

11＋231，11111131＋234567＞2，111

1＋23152，11151＋23312，…，你能得到怎样的一般不等式，并加以证明．

【示例】► 在数列{an}、{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．

(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：

1115

＋＋…＋＜12.a1＋b1a2＋b2an＋bn