2.3 数学归纳法学案(含答案)_数学归纳法学案

2.3 数学归纳法学案(含答案)由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“数学归纳法学案”。

2.3数学归纳法导学案

编写：朱家锋校对：高二数学备课组

一、课标要求

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

二、知识清单

1、证明与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0时命题成立；（2）（归纳递推）假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。可记为“两个步骤要做到，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”。

2、数学归纳法证明命题的类型

与自然数有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。

三、问题探究

1、数学归纳法的归纳奠基中n0一定等于1吗？

2、为什么可以先假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立?“假设”怎么可以作为条件来使用呢？

四、思维误区

1、证明n=k+1时命题成立时，必须用上n=k时的假设，否则第二步也就不能成为传递的依据，这样就需要从n=k+1的式子中分离出n=k时的式子，或将n=k+1的情况用n=k的情况表示。

2、有关“和式”与“积式”，一定要“数清”是多少项的和或积，以正确确定n=1时及n=k变化到n=k+1“和”或“积”的情况。

五、典例分析

题型

一、用数学归纳法证明恒等式

例

1、例1数学归纳法证明13＋23＋33＋„＋n3=1

4n

2（n＋1）2

题型

二、用数学归纳法证明不等式 例

2、归纳法证明1n11n21n3…13n＞910

（n＞1，且nN）．

题型

三、用数学归纳法证明几何问题

例3．平面内有n(nN*)个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成n

2n2个部分.题型

四、用数学归纳法证明整除问题

例

4、用数学归纳法证明32n＋

2－8 n－9nN能被64整除．

题型五 归纳、猜想、证明 例5．是否存在常数a，b，c使等式

1·222·323·42„nn1

2

nn112

an

2bnc

对一切自然数n都成立，并证

明你的结论。

六、强化训练

1.用数学归纳法证明“1＋x＋x

2＋„＋x

n＋

1=

1xn2

1x

x1，nN”成立时，验证n=1的过程中左边的式子是()

(A)1(B)1＋x(C)1＋x＋x2(D)1＋x＋x2＋x3＋„＋x2某个命题与自然数n有关，如果当n=knN时成立那么可推得n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得

()

(A)当n=6时该命题不成立(B)当n=6时该命题成立(C)当n=4时该命题不成立(D)当n=4时该命题成立

3.数学归纳法证明1＋12＋13＋„＋1

2n1

＜n（n＞1）的过程中，第二步证明从n=k到n=k＋1

成立时，左边增加m个项，则m等于()

(A)2k－1

(B)2k－

(C)2k(D)2k＋1

4.数学归纳法证明（n＋1）（n＋2）„（n＋n）=2n ·1 · 3„（2 n－1）nN时，证明从n=k到n=k＋1的过程中，相当于在假设成立的那个式子两边同乘以()

(A)2k＋2(B)（2k＋1）（2k＋2）(C)

2k2

2k12k2k1(D)k1

5.已知f(n)112131nnN,证明不等式fnnk1k

时,f2比f2 多的项数

为()

A.2

k1

B2

k1

C.2kD.2k

1

6.用数学归纳法证明

1－11111112＋3－4

2n12nn1n21

2n(nN),则从k到k＋1时,左边应添加的项为

(A)111111

2k1(B)2k22k4(C)－2k2(D)2k1－2k2

7.S1k

k11k21k312k

(k1,2,3,), 则Sk+1 =()(A)Sk +

2(k1)

(B)Sk + 12k21k1(C)Sk + 12k112k2(D)Sk + 12k11

2k2

8.如果命题p(n)对nk成立，那么它对nk2也成立，又若p(n)对n2成立，则下列结论

正确的是（）

A．p(n)对所有自然数n成立B．p(n)对所有正偶数n成立 C．p(n)对所有正奇数n成立D．p(n)对所有大于1的自然数n成立

9.用数学归纳法证明34n152n1(nN)能被8整除时，当nk1时，对于34(k1)152(k1)1可变形

为（）Ａ．56·34k125(34k152k1)Ｂ．3·

434k152·52kＣ．34k152k1Ｄ．25(34k152k1)10.证明

12225n2(2n1)(2n1)n(n1)

2(2n1),nN*13

311.求证：1

1213141

2n1

n,nN*.12.平面内有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不共点，求证它们：（1）共有

fn

nn1个交点（2）互相分割成gnn22条线段（3）把平面分割成hn1

2nn11个部分。

15.用数学归纳法证明：(3n1)7n

1(nN)能被9整除

16．是否存在常数a,b,c使等式1(n2

12)2(n2

22)n(n2

n2)an4

bn2

c 对一切正整数n都成立？证明你的结论。

17.数列

an的前n项和Sn2nan，先计算数列的前4项，后猜想an并证明之．

2.3数学归纳法

一、课标要求

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

二、知识清单

1、证明与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0时命题成立；（2）（归纳递推）假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。可记为“两个步骤要做到，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”。

2、数学归纳法证明命题的类型

与自然数有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。

三、问题探究

1、数学归纳法的归纳奠基中n0一定等于1吗？

2、为什么可以先假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立?“假设”怎么可以作为条件来使用呢？

四、思维误区

1、证明n=k+1时命题成立时，必须用上n=k时的假设，否则第二步也就不能成为传递的依据，这样就需要从n=k+1的式子中分离出n=k时的式子，或将n=k+1的情况用n=k的情况表示。

2、有关“和式”与“积式”，一定要“数清”是多少项的和或积，以正确确定n=1时及n=k变化到n=k+1“和”或“积”的情况。

五、典例分析

题型

一、用数学归纳法证明恒等式

例

1、例1数学归纳法证明13＋23＋33＋„＋n3=

4n

2（n＋1）2 证明：① 当n=1时，左边=1

3=1，右边=14

12112

1，故等式成立．

② 假设n=k（kN，且k≥1）时等式成立。

即13

＋23

＋33

＋„＋k 3

＋=

1k2(k+1)24

成立．

则当n=k＋1时，13＋23＋33＋„＋k 3＋(k+1)3

=14

k2(k1)2(k1)3=1221221k122

4(k1)k4(k1)

(k1)14

k1k14． 即当n=k＋1 时等式也成立．

综合①，②，对一切nN，等式都成立．题型

二、用数学归纳法证明不等式 例

2、归纳法证明

111n1n2n3…13n＞910

（n＞1，且nN）． 证明：① n=2时，左边=

111134561920＞9

=右边，不等式成立.② 假设n=k（kN，k≥2）时不等式成立，即

1k11k2…19

3k＞10

成立． ——4分

则当 n=k＋1时，1k21k3…111

13k3k13k23k

3=（1k11k2…13k）＋（13k113k213k3－1k1）＞910＋（13k113k213k3－1

k1）

＞910＋（13k313k313k3－1

k1）

=910

即当n=k＋1时不等式也成立． 综合①，②，对一切大于1的自然数n，不等式都成立． 题型

三、用数学归纳法证明几何问题

例4．平面内有n(nN*)个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成n

2n2个部分.题型

四、用数学归纳法证明整除问题

例

4、用数学归纳法证明32n＋

2－8 n－9nN能被64整除．

证明：① 当n=1时，32＋

2－8×1－9=64 显然能被64整除，命题成立．

② 假设n=k（k≥1，kN）时命题成立．

即32k＋

2－8k－9能被64整除．则当n=k＋1时，32（k＋1）＋2

－8（k＋1）－9=9·32k＋

2－8 k－8－9

=9（32k＋

2－8 k－9）＋64 k＋64．

∵ 32k＋

2－8 k－9与64均能被64整除，∴ 32

（k＋1）＋2

－8（k＋1）－9能被64整除．

即当n=k＋1时命题也成立．

综合①，②，对一切nN，32n＋

2－8n－9能被64整除．

题型五 归纳、猜想、证明

例8：是否存在常数a，b，c使等式

1·222·323·42„nn1

2

nn112

an

bnc

对一切自然数n都成立，并证明你的结论。分析：可先把条件式对n

1,2,3分别列出方程，试求a，b，c值，再用数学归纳法证明。

解：假设存在a，b，c使题设等式成立，那么令n1,n2,n3得到下面方程组：

41

6abc



221

24a2bc

709a3bc

解得a

3,b11,c10

下面用数学归纳法证明当nN时，题设等式成立，即有：

1·22

2·32

3·42

„nn12



nn112

3n

11n10



①

（1）当n1,2,3时，①式成立

（2）假设n

kkN成立，即：

1·222·32„kk12



kk112

3k

11k10



那么当n

k1时

1·222·32„kk12k1k22



kk112

3k

11k10

k1k2



k1

12k

3k211k10

12k2



k112

k23k25k12k24

k1k212



3k1211k1

10

故当nk1时①式成立。

综上，可知当nN时，等式成立。

六、强化训练

1..用数学归纳法证明“1＋x＋x2＋„＋x

n＋

1=

1xn

21x

x1，nN”成 立时，验证n=1的过程中左边的式子是()

(A)1(B)1＋x(C)1＋x＋x2(D)1＋x＋x2＋x3＋„＋x2某个命题与自然数n有关，如果当n=knN时成立那么可推得n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得

()

(A)当n=6时该命题不成立(B)当n=6时该命题成立(C)当n=4时该命题不成立(D)当n=4时该命题成立 1.数学归纳法证明1＋

12＋13＋„＋1

2n1

＜n（n＞1）的过程中，第二步证明从n=k到n=k＋1成立时，左边增加m个项，则m等于()

(A)2k－1(B)2k－

(C)2k(D)2k＋1

2.数学归纳法证明（n＋1）（n＋2）„（n＋n）=2n ·1 · 3„（2 n－1）nN时，证明从n=k到n=k＋1的过程中，相当于在假设成立的那个式子两边同乘以()

(A)2k＋2(B)（2k＋1）（2k＋2）

(C)

2k2

(D)

2k12k2k1

k1

1.已知f(n)1

12131nnN,证明不等式fnn2

时, f2k1比f2k 多的项数为()

A.2

k1

B2

k1

C.2k

D2k

1

3.用数学归纳法证明

1－11112＋3－4

2n112n1n11n21

2n(nN),则从k到k＋1时,左边应添加的项为

(A)12k1(B)12k21

2k

4(C)－

12k2(D)11

2k1－2k2

5.S1k11k21k31

k

2k

(k1,2,3,), 则Sk+1 =(A)Sk + 1

2(k1)(B)Sk + 12k21k1(C)Sk + 12k112k2(D)Sk + 12k11

2k2

2.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n1边形的对角线的条数f(n1)为（）

A．f(n)n1

B．f(n)nC．f(n)n1D．f(n)n2

4.如果命题p(n)对nk成立，那么它对nk2也成立，又若p(n)对n2成立，则下列结论

正确的是（）

A．p(n)对所有自然数n成立 B．p(n)对所有正偶数n成立 C．p(n)对所有正奇数n成立

D．p(n)对所有大于1的自然数n成立

5.用数学归纳法证明，“当n为正奇数时，x

n

yn能被xy整除”时，第二步归纳假设应写成（）

A．假设n2k1(kN)时正确，再推证n2k3正确 B．假设n2k1(kN)时正确，再推证n2k1正确 C．假设nk(k≥1，kN)的正确，再推证nk2正确 D．假设n≤k(k≥1，kN)时正确，再推证nk2正确

7.用数学归纳法证明34n152n1(nN)能被8整除时，当nk1时，对于34(k1)152(k1)1可变形

为（）

Ａ．56·34k125(34k152k1)

Ｂ．3·4

34k152·52k Ｃ．34k152k1

Ｄ．25(34k152k1)

[举例2]用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用归纳假设，应将5k+1－2k+1变形为[解析]假设n=k时命题成立.即:5k－2k 被3整除.当n=k+1时，5k+1－2 k+1 =5×5k－2×2 k =5(5k－2k)＋5×2k－2×2k=5(5k－2k)＋3×2k

1证明

1222n21)n(n1)

2(2n1),nN*1335(2n1)(2n 1.1

1111*2342n1

n,nN.例7：平面内有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不共点，求证它们：（1）共有

fn

nn1个交点（2）互相分割成g

nn2条线段

（3）把平面分割成h

n

nn11个部分。

分析：从图形的性质出发，进行分析。

证明：

（i）当n1时（ii）假设n

f10，g11，h12与图形性质相同，命题成立。

时，考查n

k1k2时，命题成立，则当nk

k1及增加一条直线l，这一条直

线与原来的k

1条直线的关系是它们都相交，各有一个交点。

fkfk1k1

又因为增加的一条直线l被原来的k

1条直线分割成k段（即增加的k1个点把l分成k段）而l又把原

来的k1条直线每条多分出一段（即增加的k1个交点把各交点所在的线段一分为二），若增加了kk1条

线段。

gkgk1kk1gk12k1

又因为l被分成k段，每段把该段所在的部分平面分成两部分，总共多出k个部分平面。

hkhk1k

由假设易知

fk

kk1，gkk2，hkkk11故nk22

n

时命题成立。

由（i）（ii）知，对任何nN命题都成立。

用数学归纳法证明：(3n1)71(nN)能被9整除

2、是否存在常数a,b,c使等式1(n1)2(n2)n(nn)anbnc 对一切正整数n都成立？证明你的结论。

17.数列

an的前n项和Sn2nan，先计算数列的前4项，后猜想an并证明之．