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让盲生在动态图形中学习几何
——《弦切角》教学设计与反思
一、教材分析(一)本课在教材中的地位
本节是人民教育出版社九年义务教育三年制初级中学《几何》(第三册)第七章第7.11节第一课时，主要内容是弦切角的概念、弦切角定理及其推论。圆是最常见的几何图形之一，在日常生活中随处可见。而圆心角、圆周角、弦切角又是圆中最常见的角。弦切角是在学生学过了圆心角、圆周角以及切线等有关知识后，作为选学内容出现。
弦切角与这些知识之间有着密切的联系。通过弦切角的学习将会对这些知识起到巩固与深化的作用。同时，弦切角定理为探究与圆有关的角及之间的关系，这对解决一些实际问题和进一步学习很重要，因此对于选学这部分内容的学生应将其作为掌握的重点来学习。
弦切角与圆周角同样，整个过程中蕴含着丰富的数学思想和方法。通过弦切角的学习有利于帮助学生树立已知与未知，特殊与一般在一定条件下可以转化的思想，使学生进一步学会分类讨论和把一般问题化为特殊问题的思考方法，从而提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
(二)教学重难点分析
依据弦切角在教材中的地位与作用，同时，现代的教学理念特别强调过程，强调学生的探索经历和得出新发现的体验。因此，确定本节课的教学重点为：(1)掌握弦切角概念；掌握弦切角定理、推论并能对它进行初步应用。(2)引导学生充分经历体验弦切角的概念形成，弦切角定理发现与证明及其它的初步运用的全过程。
由于弦切角定理的证明过程中蕴含众多的数学思想，初三学生虽然具备了一定的推理能力和逻辑上的思维能力，但要求学生自主发现证明此定理还是比较困难的。因此，确定本节课的难点是：弦切角定理的证明。(难点突破：学生不太容易想到把弦切角的(2)(3)种情况“转化”为(1)．教学中可提醒学生注意圆周角定理的证明方法。)
(三)教材处理
鉴于以上对教材的分析，我对教材作如下处理：
(1)弦切角概念。首先通过复习圆心角与圆周角的特征及它们之间的联系，激发想象。经过动手摸图或用眼看图，比较分类，确定这一节课所要研究的角，然后在识图训练中并结合反例逐步形成对弦切角特征的认识。
(2)弦切角定理的发现与证明。先通过引导学生从最简单的特殊情形──弦切角的弦是直径入手，进行探索猜想，然后再推广到一般的情形，得出弦切角定理。并在证明过程中渗透分类转化等各种思想和方法以及有效的解决问题的策略。这里教师适时作恰当的引导，帮助学生突出难点。
(3)在应用上充分挖掘课本中练习
1、练习2与例 1图形之间的联系，采用逐步加“线”的方法得到的不同图形，达到一图多用，一图多变的效果，引导学生尝试一题多解，初步学会，运用弦切角定理，解决一些简单的问题。
整个过程中，鼓励学生自主探索与合作交流，使整个学习过程充满观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决习题的能力。这样使数学的学习方式不再是单一的，枯燥的，以被动听讲和练习为主的方式：它是一个生动活泼，主动的和富有个性的充满生命力的过程。
二、教学目标分析
鉴于上述对教材的分析，以及数学课程标准和学生已有的认知水平与认知规律，同时，根据现代教育教学理论：目标不再只是让学生获得必要的数学知识，技能，它还应当包括在启迪思维、解决问题，情感与态度等方面的发展，故本节课从以下四个方面制定教学目标：
1.知识与技能：经历探究弦切角概念，确切角定理及其推论以及简单应用的过程，掌握弦切角概念，弦切角定理、推论以及并能进行初步应用。
2.数学思考：引导学生充分经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，如动手画角，从特殊入手进行猜想，完成定理的证明等。发展合情推理和演绎推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点。
3.解决问题：学会从数学的角度发现问题、理解问题，并能综合运用所学知识技能解决问题，并形成解决问题的一些基本策略，通过一题多解，体验解决问题的多样性，发展实践能力与创新精神，通过师与生，生与生的交流与讨论学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果，和初步形成评价与反思的意识。
4.情感与态度：引导学生参与整个数学学习活动，激发对数学好奇心与求知欲，同时获得成功的体验，锻炼克服困难意识，建立自信心，体验探索与创造的快乐，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。
三、教法学法分析
建构主义认为：数学学习并非是一个被动接受的过程，而是学习者在已有知识和经验的背景下，以自己的方式建构对知识的理解过程。因此，建构一方面是对新知识的建构，另一方面又包括对原有经验的改造和重组。在建构的过程中，学习者逐步学会学习的方法和策略，实现由“学会”到“会学”的飞跃。数学教学是数学活动的教学，是师生之间，学生之间交往互动与共同发展的过程。受建构主义理论的启发，结合教学内容和学情，确定如下教法和学法的指导：
(1)引导学生充分经历数学知识的形成与运用过程。学生通过这一过程，理解一个问题是怎样提出来的，一个数学概念是怎样形成的，一个数学结论是怎样获得和应用的。本节课首先通过复习圆心角、圆周角，激发学生联想，引导观察分类，从识图训练中并结合反例逐步获得弦切角的概念。弦切角定理发现与证明过程中学生充分经历特殊猜想、一般转化特殊，未知转化已知等过程，以及练习、例题解题思路的分析过程，在这个过程中，让已经存在于学生头脑中的那些不那么正规的数学知识和数学体验上升发展为科学论证，从中感受到发现的乐趣，增进学习数学的信心，形成创新意识。
(2)鼓励学生自主探索与合作交流。有效的数学学习过程，不能单纯地依赖模仿与记忆，教师应引导学生主动地从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。
给予学生充分的从事数学活动的时间和空间，在自主探索，亲身实践，合作交流的氛围中，排除困惑，可清楚地明确自己的思想，并有机会分享自己和他人想法，在亲身体验和探索中认识数学，解决问题，理解和掌握基本的数学知识，技能和方法。在合作交流与分享自己和他人的想法，在亲身体验和探索中认识数学，解决问题，理解和掌握基本的数学知识，技能和方法。在合作交流与分享和独立思考的氛围中，倾听、质疑、说服、推广而直至感到豁然开朗。这是数学学习的一个新的境界，数学学习变成学生的主体性、能动性、独立性不断生成、张扬、发展、提升的过程。
五、教学手段资源
计算机辅助教学、盲用图
六、教学过程【包括预设和实际教学】
(一).创设情境，以旧探新(约8分钟)
1.复习：什么样的角是圆心角？(顶点在圆心的角叫圆心角。)
什么样的角是圆周角?(顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做
圆周角。)
2.揭示课题：今天我们继续学习圆中的第三种角。
3.请同学们观察右图(盲生提供盲图)，图中的角是圆周角吗？(点C
在圆上，CA与圆相交，CB与圆相切，∠ACB是圆周角吗？)
师生共同发现这个角的特征：(1)顶点在圆上；(2)一边和圆相交；(3)一边和圆相切．
4.教师说明弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
弦切角动态的形成过程：弦切角也可以看作圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角。(电脑辅助教学，全盲生用吸管拼摆)
【注意辅导后进生】
5.用反例图形继续剖析定义，揭示概念本质属性：
即时练习：判定下列各图形中的角是不是弦切角，并说明理由：
图图图3 图
4【给盲生充足的摸图时间】
以上图1～图3中的角都不是弦切角，图4
是弦切角。
图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件。
图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件。
图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件。
通过以上分析，使全体学生明确：弦切角定义中的三个条件缺一不可。
(二).操作、观察、猜想(约5分钟)
在作图板上进行点C的运动操作(如图5)，观察∠P与∠BAC的关系，并进行大胆的猜想：∠P=∠BAC。操作完后，低视生观察电脑动画(如图6～8)
图
5【图5显示的是学生课堂上在作图板上图形，图钉处的字母是后来加上的，课堂上学生经过以往的训练很容易记住其表示的点的名称，且字母的添加也不是很方便，所以学生的作图板上是没有字母的。在此图中，图钉是固定不动的，代表点；画圈处的工字钉插取方便，故用其代表移动的点C；用皮筋代表线段，可根据需要更改其长短。点A上方圆周上的点C＇是点C的特殊位置(此时的AC是直径)，故让学生用图钉固定。】
图
6图
7图8
【图6～8分别显示了弦切角的三种情况，在点C的变化过程中，右边的两个角的度数也相应的同时变大或变小，这使得低视生有了更加直观的认识。总之，在本环节中，盲生在操作的过程中体会弦切角的三种情况；低视生通过观察几何画板制作的动画更加清晰地了解了弦切角和它所夹的弧对的圆周角的关系】
(三).类比联想、论证(15分钟)【这是本节课的重点也是难点】
1.首先让学生回忆联想：
(1)圆周角定理的证实采用了什么方法?
(2)既然弦切角可由圆周角演变而来，那么上述猜想是否可用类似的方法来证实呢?
2.分类：教师引导学生观察图形，当固定切线，让过切点的弦运动，可发现一个圆的弦切角有无数个．由此发现，弦切角可分为三类：
(1)圆心在角的外部；
(2)圆心在角的一边上；
(3)圆心在角的内部．
3.迁移圆周角定理的证明方法
先证明情况1：弦切角的一边过圆心。(即一边为过切点的直径)
再考虑圆心在弦切角的外部和内部两种情况。
(1)圆心在弦切角外部，这时弦切角是一个锐角，怎样将其转化为特殊的直角情形？ 学生不难想到要找直径(过点A作⊙O的直径AQ)，有了直径就要有直径所对的圆周角(连结PQ或CQ)。因此需要添加两条辅助线。
【教学预设】看学生对第二条辅助线是怎样想的，如果绝大多数学生选择“连结CQ”，就请学生看书上的图；若选择“连结PQ”，就发给学生盲图，即图(1)。
【实际教学】班级有盲生10人，有7为学生选择“连结PQ”，故我采用了不同于课本的证明：如图(1)，圆心O在∠CAB外，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC＝∠BAQ－∠1＝∠APQ－∠2＝∠APC。
(2)圆心在弦切角外部，这时弦切角是一个钝角，怎样将其转化为特殊的直角情形？——留给学生课后自己学习书上的证明方法，并想一想有没有其他证明方法(如图(2)，圆心O在∠CAB内，作⊙O的直径AQ．连结PQ，则∠BAC＝∠QAB十∠1＝∠QPA十∠2＝∠APC。)
(在此基础上，给出证明，写出完整的证明过程)
4.回顾证明方法：将三种情形图都化归至直角的那种情形，利用角的合成、对三种情况进行完全归纳、从而证明了上述猜想是正确的，得：
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
【讲解证明要让学生多思考，根据学生的课堂“灵动”，及时调整教学思路】
(四).深化结论，巩固练习(约10分钟)
1.已知AB是⊙O的切线A为切点，由图填空：【给盲生提供盲图】
A B A B A B
∠1=30º；∠2=70º；∠3=65º；∠4=40º。
2.如图，经过⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C．
求证：∠ATC＝∠TBC．【预设：本小题根据课堂教学实际用时
可进行适当的调整(放在小结之后)】
分析：欲证∠ATC=∠TBC，可证△ATC∽△TBC或角的其它性质，(此题为课本的练习题，证实方法较多，组织学生讨论，归纳
证法。)
【实际教学】由于定理的证明花费了较多的时间，练习的第2题来不及课堂完成，我先进行了课堂小结，将此题的证明稍加提示后留给学生课后完成。
(五).归纳小结(约2分钟)
教师组织学生归纳：
1.这节课我们主要学习的知识：
(1)弦切角定义：(1)顶点在圆上；(2)一边和圆相交；(3)一边和圆相切。
(2)还可以从运动的角度，通过圆周角一边的旋转产生弦切角。
(3)弦切角定理及其证明：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
2.在学习过程中应用哪些重要的数学思想方法？(化归思想、分类思想)
(六).作业布置：
1.自学情况3的证明
2.教材P.131中
5七、教学后记：
本课是人教版老教材的选学内容，教材介绍了弦切角的概念、弦切角定理的证明及应用。从知识结构上讲，它是在学习了圆的有关性质、直线与圆的位置关系以及圆心角和圆周角的基础上进行学习的。它的作用有：它是沟通圆心角、圆周角、弧等与圆有关的量的“桥梁”，是联系圆与相似两大知识派的重要纽带，尤其是后面学习切割线定理及推论的必备知识基础。另外，前面学习的圆周角定理证明过程中习得的分类经验在证明弦切角定理时有了一个尝试的机会，对发展学生的分类转化能力有很好的作用。所以，弦切角定理在知识系统中有承前启后、沟通左右、连贯全局的作用，是本节课的教学重点；而弦切角定理的证明需分类讨论，对数学思想方法的要求高于学生的认知水平，所以是本节课的教学难点。那么我们如何在盲校的几何课堂中开展教学，就需要让图形“动起来”。
过去在几何教学的盲缺陷补偿上，大都是在静态的图形中进行补偿，随着教授知识的提升，数学思想的升华，越来越需要动态图形的补偿。让学生在图形的运动变化中，找寻规律，并运用数学思想方法解决问题，作为教师必须改进教学具，让盲生享有和正常人一样感受图形动态变化的权利。只有图形动了，盲生的思维才能“活”，学生的数学思想才能得到发展，我们的教学才能起到效果。基于这种思想，我们的教学具由开始的教师画盲图给学生；到用吸管摆给学生，让学生进行操作；再到现在用皮筋让学生独立操作进行拉伸转动，添加辅助线。总体来看，本节课中通过学生的操作也基本达到了我预设的效果。
所以直观教学具是盲校几何教学中的灵魂，对它的研究我将会继续下去。
……………………………………获09年省“师陶杯”论文评比三等奖、09年南京市优秀教育论文评比二等奖
