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2011年同济等九校(卓越联盟)自主招生数学试题
(1)向量a，b均为非零向量，(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a，b的夹角为(A)6π(B)3π(C)23π
(D)56π
(2)已知sin2(α+γ)=nsin2β，则tan()tan()αβγαβγ++−+22等于(A)11nn−+(B)1nn+(C)1nn−
(D)11nn+−
(3)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，F是棱A1B1上的点，且A1F：FB1=1：3，则异面直线EF与BC1所成角的正弦值为(A)153(B)155(C)53(D)55
(4)i为虚数单位，设复数z满足|z|=1，则2221zzzi−+−+的最大值为(A)2-1(B)2-2(C)2+1
(D)2+2
(5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，△ABC 三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC边所在直线的方程为4x+y-20=0，则抛物线方程为(A)y2=16x
(B)y2=8x(C)y2=-16x(D)y2=-8x
(6)在三棱锥ABC—A1B1C1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E为CC1的中点，则点C1到平面AB1E的距离为(A)3(B)2(C)32(D)22
(7)若关于x的方程||4xx+=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为()(A)(0，1)
(B)(14，1)(C)(14，+∞)(D)(1，+∞)
(8)如图，△ABC内接于⊙O，过BC中点D作平行于AC的直线l，l交AB于E，交⊙O于G、F，交⊙O在A点的切线于P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长为(A)5(B)6(C)7
(D)22
(9)数列{an}共有11项，a1=0，a11=4，且|ak+1-ak|=1，k=1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为()(A)100(B)120(C)140(D)160(10)设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为27π的旋转，τ表示坐标平面关于y轴的镜面反射．用τσ表示变换的复合，先做τ，再做σ，用σk表示连续k次的变换，则στσ2τσ3τσ4是()(A)σ4(B)σ5(C)σ2τ(D)τσ2
(11)设数列{an}满足a1=a，a2=b，2an+2=an+1+an．(Ⅰ)设bn=an+1-an，证明：若a≠b，则{bn}是等比数列；(Ⅱ)若limn→∞(a1+a2+…+an)=4，求a，b的值．
(12)在△ABC中，AB=2AC，AD是A的角平分线，且AD=kAC．(Ⅰ)求k的取值范围；(Ⅱ)若S△ABC=1，问k为何值时，BC最短？
(13)已知椭圆的两个焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y=x-3相切．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值．
(14)一袋中有a个白球和b个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为Xn．(Ⅰ)求EX1；(Ⅱ)设P(Xn=a+k)=pk，求P(Xn+1=a+k)，k=0，1，…，b；(Ⅲ)证明：EXn+1=(1-1ab+)EXn+1．
(15)(Ⅰ)设f(x)=xlnx，求f′(x)；(Ⅱ)设0
