一元二次方程公共根问题_一元二次方程公共根

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一元二次方程公共根问题

若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题，两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：

（1）设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程；

（2）用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；

（3）把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之

间的关系式．

例1（2006年广西桂林模拟探究）已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围．

（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相

同的根，求此时m的值．

解析：（1）∵一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根

∴△=16-4k＞0，∴k＜4

（2）当k=3时，解x2-4x+3=0得x1=3，x2=1

当x=3时，32+m·3-1=0，m=-8 3

当x=1时，12+m·1-1=0，m=0

例2若两个关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0只有一个公共的实数根，求a的值 解：设两个方程的公共根为α，则有α2+α+a=0①

α2+aα-1=0②

①-②得（1-a）α+a-1=0，即（1-a）（α-1）=0

因为只有一个公共根，所以a≠1，所以α=1

把α=1代入x2+x+a=0得12+1+a=0，a=-2

例3已知a＞2，b＞2，试判断关于x的方程x2-（a+b）x+ab=0与x2-abx+（a+b）=0有没有公共根，请说明理由．

分析：判断两个方程是否有公共解，常假设有公共根，代入两个方程整理，求出这个解，再检验，如有矛盾方程的公共根不存在．

解：不妨设关于x的方程x2-（a+b）x+ab=0与x2-abx+（a+b）=0有公共根，设有x0，则

2x0(ab)x0ab0① 有整理，可得（x0+1）（a+b-ab）=0 2② x0abx0(ab)0

∵a＞2，b＞2，∴a+b≠ab，∴x0=-1

把x0=-1代入①得，1+a+b+ab=0这是不可能的所以，关于x的两个方程没有公共根．