数学人教版九年级上册21.2.3 解一元二次方程因式分解法_因式分解法解高次方程

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解一元二次方程 —— 因式分解法（教案）

南宁市邕宁区朝阳中学----曾灵芝

教学目标：

1．学会用因式分解的方法解一些一元二次方程；

2．在探究因式分解法解方程的过程中体会转化、降次的数学思想； 3．会选择合适的方法解一元二次方程；

教学重点：会用因式分解法解一些一元二次方程.教学难点：能够正确选择因式分解的方法.教学课时：1节课.教学过程：

一、复习导入新课（让学生口述回答）

问题1 我们已经学过哪些解一元二次方程的方法？解一元二次方程的基本思路是什么？

答：①直接开平方法，②配方法，③求根公式法． 能用直接开平方法的方程形式是： x2=a(a≥0)配方法：要把一个方程配方成：(x+m)2=n（其中m、n是常数，n≥0）的形式；

公式法 ：直接利用 公式解一元二次方程

xbb24ac.b24ac02a解一元二次方程的基本思路是降次，把“二元”转变成“一元”

问题2 什么叫分解因式？（提问学生）

把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式分解因式或因式分解。

问题3 分解因式的方法有哪些?（1）提取公因式法: ma+mb+cm=m(a+b+c).（2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.（3）十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).二、新课讲解：

（引例）根据物理学规律，如果把一个物体从地面 以10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 物体离地面的高度（单位：m）为 10x-4.9x2

根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？（精确到 0.01 s）分析：设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0，即 10x-4.9x2 =0 让学生用所学过的解一元二次方程的方法完成解上述方程。师：①这个方程能用直接开平方法解吗？（答案：不能）②能用配方法和公式法解吗（答案：能，可是这两种方法都需要经过较烦的计算，容易出错）有没有比较简便的方法呢？

三、探究因式分解法，解上述方程。

1、由学生尝试分析10x-4.9x2=0的解题过程，引导学生观察方程的特点：这个方程的左边易于分解成x(10-4.9x)，是因式x、与(10-4.9x)的积的形式，而方程的右边为0，如果将方程变成x(10-4.9x)=0，问题是不是可以解决了呢？

2、根据如果a · b = 0，那么 a = 0或 b = 0。即两个因式的积为0，至少有一个因式为0，可以把原一元二次方程10x-4.9x2=0化成两个一元一次方程x=0或(10-4.9x)=0 10x-4.9x2=0 ①

x=0或(10-4.9x)=0 ②

100解得x=0或x=492.04 解以上两个一元一次方程，这两个方程的解，就是原来这个一元二次方程的解；

3、学生把用这个方法得到的方程的与前面用公式法、配方法所得的答案比，得出结论：结果一样，方法比较简便。

4、解一元二次方程的因式分解法：.可以发现,上述解法中,由①到②的过程,不是用直接开平方或求根公式降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解法.5、从而总结出因式分解法的基本思想：通过把方程化为两个一次式的积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。

6、（师）能用因式分解方法解的条件是什么？是不是所有的方程都能用因式分解法？：

（让学生思考回答，老师补充）用因式分解法解一元二次方程的条件是：方程的一边易于分解因式，方程的另一边为0。

四、例题讲解（1）x(x-2)+x-2=0（2）5x2-2x-=x2-2x+

五、归纳因式分解法解一元二次方程的解题步骤：（学生归纳，老师补充）

（1）将方程通过整理右边化为零的形式；（2）将方程的左边分解因式；

（3）根据两个因式的积为零，至少有一个因式为0。令每个因式为0，得到两个一元一次方程；

（4）解每个一元一次方程，这两个一元一次方程的解即得到一元二次方程的解。143

4六、课堂练习(一)解下列方程（课本P14 第1题）

（1）x2x0;

(2)x223x0;

(3)3x26x3;(4)4x21210;

(5)3x(2x1)4x2;

(6)(x4)2(52x)2.老师当堂检验，抽取一名学生上黑板做题，老师进行讲评，并且提问其余学生另外的解题方法。

可以看出上面各个方程都可以用因式分解法来解，其中⑴、⑵用提公因式法来分解；第⑶题把方程两边同除以

3、右边化为0之后，方程的左边是一个完全平方式，用完全平方公式分解因式；⑷可用平方差公式分解，也可以用直接开平方法来解；⑸把（4x+2）看成整体移项，把方程右边化为0之后可用提公因式法来解；⑹把方程的左右两边的式子看成整体，把方程的右边移到左边，可以用平方差公式来分解，比较简便。

注意（学生体验后，老师提醒）：

1、用因式分解法解一元二次方程，只限于把方程右边化为0之后，方程的左边能分解因式的方程；不是所有的方程都能用这个方法；

2、因式分解的方法根据方程的特征，选用合适的方法（①提公因式法、②公式法、③x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)型的因式分解法）。

七、归纳总结解一元二次方程的方法（学生完成）：①直接开平方法、②配方法、③公式法、④因式分解法）

八、课堂练习

（二）给下列方程选择合适的解一元二次方程的 较简便的方法： ⑴、5x2-32x=0（运用因式分解法）⑵、3x2-2=0（运用直接开平方法）

⑶、x2-4x=6（运用配方法）⑷、2x2-x-3=0（运用公式法）⑸、2x2+7x-7=0（运用公式法）

九、归纳总结。

1、一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法或用因式分解法（平方差公式）来解；

2、若常数项为0（ax2+bx=0），应选用因式分解法；

3、若一次项系数和常数项都不为0(ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；

4、不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单。

5、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。

十、提问学生：这节课你学到什么？（因式分解法解一元二次方程，等等）它的解题步骤是什么？目前为止你学习了多少个方法解一元二次方程？哪种方法比较简便？是不是所有的方程都能用这个方法？

十一、（师）总结补充：

1、我们这节课学习了用因式分解法来解一元二次方程，到现在为止我们可以用①直接开平方法、②配方法、③公式法、④因式分解法来解一元二次方程；

2、做题时，如果题目没有要求，具体用哪一种方法注意观察整个方程，要根据方程的特点来分析，选择合适的方法来解；

3、无论用哪一种方法解一元二次方程的基本思想方法都是“降次”，将一元“二次”方程转化为一元“一次”方程来解决；

4、数学思想方法有很多，这种转化思想是常用的数学思想方法之一．它是指在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为已知的或比较简单的问题来解决，因此转化思想在初中的代数、几何中成为一个重要的数学思想。数学问题中，很多问题都可以用转化的方法来解决，比如；在解二元一次方程组时，通过消元把“二元”转变成“一元”，解分式方程时，去分母把“分式”方程转变成“整式”方程，求几何图形线段长时，通常通过设未知数，列方程把“几何问题”转变成“代数问题”来解。转化思想方法贯穿整个初中乃至高中等阶段，今后在学习中同学们会体会到，也希望同学们能熟练掌握这种方法来解决数学中的许多问题，这对你们今后的成长有着深远的影响。

十二、布置课后作业：

1、教科书习题 21.2 第 6，10 题．

教学后语： 本节课内容较多，由于安排得当，再加上学生先做预习，课堂完成情况还好；但是，学生作业中，仍然存在着

1、书写过程不规范、计算出错的问题，2、部分学生没有养成课后复习的习惯，所以，今后在教学中这方面的教学还是不能简略，特别是学了新知识之后。强调学生课后复习要时常挂在嘴边，指导学生养成良好的学习习惯，另外，利用因式分解法解一元二次方程，以及根据方程的特点选择合适的方法解方程内容比较重要，是解一元二次方程中，最简便、最省时、最有效的方法，打算需要半节课来巩固这方面的知识，估计这样学生对这个内容就能熟练掌握了。