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同济大学高等数学（下）期中考试试卷1
.简答题（每小题8分）
1.求曲线2.方程或
或
在点
在点
处的切线方程.的某邻域内可否确定导数连续的隐函数
？为什么？
3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路：
设椭球面间的最小距离.4.设函数，求
与平面没有交点，求椭球面与平面之
具有二阶连续的偏导数，.是的一条等高线，若二.（8分）设函数三.（8分）设变量
具有二阶连续的偏导数，满足方程
及
求.，其中
与
均具有连续的偏导数，求.四.（8分）求曲线在点处的切线与法平面的方程.五.（8分）计算积分）三角形区域.六.（8分）求函数，其中是顶点分别为..的在圆，上的最大值和最小值.是山脚
即等量线七.（14分）设一座山的方程为上的点.（1）问：在点处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率；
使（2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点得上述增长率最大，请写出该点的坐标.八.（14分）设曲面面上一点处的切平面
是双曲线与平面
（平行.的坐标； 围成的立体，求的体积.的一支）绕轴旋转而成，曲（1）写出曲面（2）若 是.的方程并求出点和柱面同济大学高等数学（下）期中考试试卷2
一.填空题（每小题6分）
1.元函数的各性质：（A）连续；（B）可微分；（C）可偏导；（D）各偏导数连续，它们的关系是怎样的？若用记号“
”表示由
可推得，则
（）2.函数最大值是.3.设函数
（）在点
.处的梯度为，该点处各方向导数中的可微，则柱面在点处的法向为，平面曲线在点处的切向量为.4.设函数连续，则二次积分.(A)；(B)；
(C)
二.（6分）试就方程函数存在定理.；(D).可确定有连续偏导的函数，正确叙述隐 三.计算题（每小题8分）
1.设是由方程
所确定的隐函数，其中
具有连续的偏导数且 2.设二元函数，求的值..又函数
与
有连续的偏导数，且由方程组（）确定，求复合函数的偏导数 3.已知曲面的切平面方程.，上的点
.处的切平面平行于平面，求点
处 4计算二重积分：的曲边三角形区域.，其中是以直线，和曲线为边界5.求曲线积分，为曲线沿从0增大到2的方向.五.（10分）球面被一平面分割为两部分，面积小的那部分称为“球冠”；同时，垂直于平面的直径被该平面分割为两段，短的一段之长度称为球冠的高.证明：球半径为的球冠的面积与整个球面面积之比为六.（10分）设线材（.，高为的形状为锥面曲线，其方程为：，试求的均匀柱体的质量.，），其线密度七.（10分）求密度为，对位于点的单位质点的引力.同济大学高等数学（上）期中考试试卷1
一、计算下列函数的极限（每题5分）： 1．.2..3..4..5..6..二、计算下列函数的导数（每题5分）： 1.2.，求 求
..3.设函数由方程确定，且 求.4.设函数由参数方程确定，求及.5.，求.6.，求.三、（8分）设(1)a 为何值时，(2)若,证明
？为什么？
有唯一的零点。
四、（8分）设半径为1的球内有一内接正圆锥，问圆锥的高与底半径之比为多少时，内接正圆锥的体积最大？（圆锥体积公式V=
五、（8分）确定函数，有
.×底面积×高).的单调区间，并由此证明：
六、（8分）设限存在，并且求出该极限.，利用单调有界收敛准则证明极
七、（8分）试证明开普勒方程的某领域内是单调增加的，并问点
是否曲线
所确定的隐函数在的拐点，为什么？
同济大学高等数学（上）期中考试试卷2
一.选择题（每小题4分）1.以下条件中（）不是函数（A）（C）
2.以下条件中（）是函数（A）在在处有导数的必要且充分条件.在处可微分
在处连续的充分条件.在可微
（B）存在（D）处连续（B）（C）存在（D）存在3.是函数的（）间断点.（A）可去（B）跳跃（C）无穷（D）振荡
4.设函数在闭区间
上连续并在开区间
内可导，如果在内，那么必有（）.（A）在（C）在上上
（B）在单调减少（D）在上上
单调增加 是凸的 5.设函数，则方程
在内根的个数为（）.（A）0个（B）至多1个（C）2个（D）至少3个
二.求下列极限（每题5分）
1.（）.2.（）.3.（）.4.三.求下列函数的导数（每题6分）
.1.2.设,求是可导的单调函数，满足
.，.方程
确定了隐函数，求.3.设是参数方程确定的函数，求.4.设函数四.（8分）证明：当
时有
（），问取何值时，且仅当
时成立等式.存在？.五.（8分）假定足球门宽度为4米，在距离右门柱6米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进，问：他在离底线几米的地方将获得最大的射门张角？
六.（10分）设函数且存在.七.（10分）已知函数（1），为一指数函数与一幂函数之积，满足：；
在区间使得
上连续，在区间，证明在内有二阶导数.如果内至少有一点，使得（2）试写出 在的表达式.内的图形只有一条水平切线与一个拐点.
