人教A版必修2线面垂直、面面垂直习题_线面面面垂直练习题

人教A版必修2线面垂直、面面垂直习题由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“线面面面垂直练习题”。

例2已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O

PBC上任意一点，过A点作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面

证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC

又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC

而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC

又∵AE在平面PAC内，∴BC⊥AE

∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC

例4在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD的中点

（1）求证：AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明平面AED⊥平面A1FD

1分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为0”的问题，当然也可用其它的证法

证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，则A(0,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2)

D1(0,2,2)，E(2,0,1),F(1,2,0)

(1)AD(0,2,0),D1F(1,0, 2) ADD1F=0×1+2×1+0×(-2)=0, AD⊥D1F （2）AE=（2，0，1）D1F=（1，0，-2），|AE|，|D1F|设AE与D1F的夹角为θ，则

cosθ121001(2)

0

所以，直线AE与D1F所成的角为90°

（3）由（1）知D1F⊥AD，由（2）知D1F⊥AE，又AD∩AE=A，D1F⊥平面AED，∵D1F平面A1FD1M

平面AED⊥平面A1FD

1例5如图，已知AB是圆O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任一点，求证：平面PAC平面PBC．

分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可 解：∵AB是圆O的直径，∴ACBC，又∵PA垂直于O所在的平面，∴PABC，∴BC平面PAC，又BC在平面PBC中，所以，平面PAC平面PBC．

点评：由于平面PAC与平面PBC相交于PC，所以如果平

面PAC平面PBC，则在平面PBC中，垂直于PC的直线一定垂直于平面PAC，这是寻找两个平面的垂线的常用方法

1“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的A充分条件B必要条件

C充要条件D既不充分又不必要条件

答案：B

2给出下列命题，其中正确的两个命题是

①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α④a、b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等

A①②B②③C③④D②④

解析：①错误如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交②正确如下图，平面α∥β，A∈α，C∈α，D∈β，B∈

β且E、F分别为AB、CD的中点，过C作CG∥AB交平面β于G，连结BG、GD 设H是CG的中点，则EH∥BG，HF∥GD

∴EH∥平面β，HF∥平面β ∴平面EHF∥平面β∥平面α ∴EF∥α，EF∥β

③错误直线n可能在平面α内

④正确如右上图，设AB是异面直线a、b的公垂线段，E为AB的中点，过E作a′∥a，b′∥b，则a′、b′确定的平面即为与a、b都平行且与a、b距离相等的平面，并且它是唯一确定的答案：D

4在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O⊥平面MBD

证明：连结MO

∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC

1又A1O平面A1ACC1，∴A1O⊥DB

在矩形A1ACC1中，tan∠AA1O=22，tan∠MOC=，2

2∴∠AA1O=∠MOC，则∠A1OA+∠MOC=90°∴A1O⊥OM

∵OM∩DB=O，∴A1O⊥平面MBD

11在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD

（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC?试证明你的结论

（1）解：当a=2时，ABCD为正方形，则BD⊥AC

又∵PA⊥底面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥PA∴BD⊥平面PAC

故当a=2时，BD⊥平面PAC

2.若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平B面，则下列命题中的真命题是()

A.若m⊂β，α⊥β，则m⊥α

B.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β

C.若m⊥β，m∥α，则α⊥β

D.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ

解析：两平面垂直并不能得到一个平面内的任一直线都与另一平面垂直，故A为假命题；以三棱柱的侧面和侧棱为例知B为假命题；若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ或β∥γ，故D为假命题；若m∥α，则α中必存在直线l与m平行，又m⊥β，∴l⊥β，故α⊥β，故选C.答案：C1、给出以下四个命题：

（1）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；

（2）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；

（3）如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；

（4）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

其中真命题的个数是（）A、4B、3C、2D、12、设、、为平面，m、n、l为直线，则m的一个充分条件是（）

,l,mlB． m,,

C． ,,mD． n,n,m A、

3、m、n是空间两条不同直线，、是空间不同平面，下面有四个命题：

①m,n//,//,则mn②mn,//,m,则n//

③mn,//,m//,则n④m,m//n,//,则n

其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）。

4、已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，垂足为A，连PB，PC，PD，AC，BD，则互相垂直的平面

有对。

三、例题讲解：

例

1、如图，已知PA⊥三角形ABC所在平面，∠ACB=900 ,AM⊥PC，AN⊥PB

（1）求证：PC⊥BC

（2）求证BC⊥平面PCA

（3）求证AMN⊥平面PCD。

1、设,,为两两不重合的平面，l,m,n为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若,,则∥；②若m,n,m∥,n∥,则∥；

,则l∥；④若l,m,n,l∥,则m∥n.⑤若//,m,n,则m//n⑥若m,n,m//n,则//

⑦若,m//,n//,m,n,则// ③若∥,l

其中真命题的个数是

（A）1（B）2（C）3（D）

42、在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（）（A）BC//平面PDF（B）DF⊥平面PA E

（C）平面PDF⊥平面ABC（D）平面PAE⊥平面 ABC3、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，现

在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P，那么在四面体P-DEF

中，必有（）

A、DP⊥平面PEFB、DM⊥平面PEF

C、PM⊥平面DEFD、PF⊥平面DEF4、已知P是△ABC所在平面外一点，O是点P在平面内的射影

（1）若P到△ABC的三个顶点的距离相等，则O是△ABC的；

（2）若PA、PB、PC与平面所成的角相等，则O是△ABC的；

（3）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的；

（4）若平面PAB、PBC、PCA与平面所成的角相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的；

（5）若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC的；

（6）若PA⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC的；

5．等边三角形ABC的边长为1，BC上的高为AD，沿高AD折成直二面角，则A到BC的距离是（）A．2B．2C．D． 22

4AB，BB1，B1C1例

1、（1）如图，在正方体ABCDA1BC11D1中，E,FG,H分别为AA1，的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）

（2）如图,正棱柱ABCDA1BC11D1中,AA12AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为___

(3)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA=90，点D1、F1分别是A1B1和A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成的角的余弦值_________。

（4）在正四面体A-BCD中，异面直线AB与CD所成角的大小是

_______.A

1

例

2、在正四棱柱ABCDA1BC11D1中，AB2BB12，P为B1C1的中点．

1、求异面直线AC与BP所成的角；

2、求点B到平面APC的距离．

例

3、在正三棱锥S—ABC中，D为AB的中点，且SD与BC所成的角为45，则SD与底面所成的角的正弦值为（）

A、123B、C、D、323

31．（全国Ⅰ•理•7题）如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）

4123

A．5B．5C．5D．

5ABC内的5（全国一11）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面

射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）

A．1

23B

．3C

D．3 答案：C6、（福建卷6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为

答案：D