关于线线、线面及面面平行的问题_线面平行与面面平行

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关于线线、线面及面面平行的问题

典型例题：

例1.（2012年四川省文5分）下列命题正确的是【】

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

【答案】C。

【考点】立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质。

【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确。故选C。

例2.（2012年浙江省文5分）设l是直线，α，β是两个不同的平面【】

A.若l∥α，l∥β，则a∥βB.若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C.若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD.若α⊥β, l∥α，则l⊥β

【答案】B。【考点】线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性质。

【解析】利用面面垂直的判定定理可证明B是正确的，对于其它选项，可利用举反例法证明其是错误命题：

A，若l∥α，l∥β，则满足题意的两平面可能相交，排除A；

B，若l∥α，l⊥β，则在平面α内存在一条直线垂直于平面β，从而两平面垂直，故B正确； C，若α⊥β，l⊥α，则l可能在平面β内，排除C；

D，若α⊥β, l∥α，则l可能与β平行，相交，排除D。

故选 B。

例3.（2012年山东省文12分）如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD.(Ⅰ)求证：BE=DE；

(Ⅱ)若∠BCD=1200，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面

BEC.【答案】解：(Ⅰ)证明：取BD中点为O，连接OC，OE，∵BC=CD，∴CO⊥BD，又∵EC⊥BD，CO∩EC=C，∴BD⊥平面OCE.。

又∵OE平面OCE.，∴BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线。

∴BE=DE。

(Ⅱ)取AB中点N，连接MN，DN，∵M是AE的中点，∴MN∥BE。

∵△ABD是等边三角形，∴DN⊥AB，∠ABD＝60°。

∵∠BCD＝120°，BC=CD，∴∠CBD＝30°。

∴∠ABC＝60°+30°＝90°，即BC⊥AB。

∴ND∥BC。

又∵MN∩ND=N，BE∩BC=B，∴平面MND∥平面BEC。

又∵DM平面MND，∴DM∥平面BEC。

【考点】线面垂直和平行的证明，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角

形的性质。

【解析】(Ⅰ)要证BE=DE，只要证点E是BD垂直平分线上的点即可。故取BD中点为O，连接OC，OE，由已知证明BD⊥OE即可。

(Ⅱ)要证DM∥平面BEC只要证明DM在一个平行于平面BEC的另一个平面上，故取AB中点N，连接MN，DN，证明平面MND∥平面BEC即可。

例4.（2012年福建省理13分）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．

（I）求证：B1E⊥AD1；

（II）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；（III）若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．

→→→【答案】解：（I）如图，以A为原点，AB，AD，AA1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系。

a设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E2，1，0，B1(a,0,1)。

aa→→→→－，1，－1，AB1＝(a,0,1)，AE＝，1，0。∴AD1＝(0,1,1)，B1E＝22

a→→∵AD1·B1E0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B1E⊥AD1。2

→（II）假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此时DP＝(0，－1，z0)。

又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．

ax＋z＝0，→→∵n⊥平面B1AE，∴n⊥AB1，n⊥AE，得ax2y＝0.a1，－a。取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝2

a1→要使DP∥平面B1AE，只要n⊥DP，即－az0＝0，解得z0＝。22

1又DP⊄平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝。2

（III）连接A1D，B1C，由长方体ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D。

∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C。又由（I）知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，∴AD1⊥平面DCB1A1。

→→∴AD1是平面A1B1E的一个法向量，此时AD1＝(0,1,1)。

→n·AD→设AD1与n所成的角为θ，则cosθ＝＝→|n||AD1|

aa ∵二面角A－B1E－A1的大小为30°，∴|cosθ|＝cos30°

3a＝3a＝2，即AB的长为2。2

【考点】用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定。

→→→【解析】（Ⅰ）由题意及所给的图形，以A为原点，AB，AD，AA1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向

→→建立空间直角坐标系。设AB＝a，给出图形中各点的坐标，可求出向量AD1和B1E 的坐标，验证其数量积

为0即可证出两线段垂直。

（II）由题意，可先假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，求出平面B1AE法向量，可法向量与直线DP的方向向量内积为0，由此方程解出z0的值，若能解出，则说明存在，若不存在符合条件的z0的值，说明不存在这样的点

P满足题意。

（III）由题设条件，可求面夹二面角的两个平面的法向量，利用两平面的夹角为30°建立关于a的方程，解出a的值即可得出AB的长。