立体几何复习题_立体几何复习题及答案

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立 体 几 何 复 习 题

二、垂直关系

一、平行关系

（1）线线平行（2）线面平行（3）面面平行

证明线线平行的常用方法： 证明线面平行的常用方法： 证明面面平行的常用方法： 练习：

1、已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且APDQ，求证：PQ∥平面CBE。

D2、在正方体AC1中，E是DD1的中点，求证D1B∥平面EAC。

3、在正方体AC1中，M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点，1求证：（1）M,E,F,N四点共面；（2）平面MAN∥平面EFDB。A

方法指导与点评：要证明平行关系，首先我们要深刻地理解和牢记证明平行关系的常用方法，解题是，我们的头脑里要同时展现这些方法，然后再根据图形的具体特征选择适当的方法；证明线面平行和面面平行一般情况可以转化为证明线线平行，所以我们一定要掌握证明线线平行的方法。证明线面平行时，关键在于在平面内找到一条直线与已知直线平行，这条直线如果已经存在，那直接证明即可，如果不存在，那需要作出这条直线，常用的作法有两种，构造平行四边形或三角形的中位线。（如练习1和练习2）

（1）线线垂直（2）线面垂直（3）面面垂直 证明线线垂直的常用方法：

证明线面垂直的常用方法： 证明面面垂直的常用方法： 三垂线定理： 三垂线的逆定理： 练习：、在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，M为BB1的中点，求证

D

1D1O平面AMC。

2、已知RtABC中，C900,PA平面ABC,且AEPB，AFPC，E、F分别为垂足，求证：(1)AF平面PBC；(2)PB

平面AEF。

B3、已知四棱锥PABCD,底面ABCD为菱形,DAB60,PD平面ABCD ,点E为

AB的中点,求证:平面PED平面PAB.A

E4、如图,四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,PB与底面所成的角为45,底面ABCD为直角梯形,ABCBAD90,PABC

12AD.(1)求证:平面PAC平面PCD；

(2)在棱PD上是否存在一点E,使得CE平行于平面PAB?若存在,请确定E的位置;若不

存在,请说明理由.方法指导与点评：要证明垂直关系,首先,我们要深刻地理解和牢记证明垂直关系的常用方法,解题时,头脑里要同时展现这些方法,然后再根据图形的具体特征选择适当的证明方法.证明 线面垂直和面面垂直一般情况可以转化为证明线线垂直，所以我们一定要掌握证明线线垂直的方法。一般情况下,要证明两条异面直线相互垂直,考虑通过证明线面垂直来证明线线垂直，如果给出线线之间的大小关系,我们 可以考虑用勾股定理来证明线线垂直.对于用证明两条直线所成的角为90,在证明线线垂直时,可以分为两类,一类是直接证明这两条直线所成的角为

90,另一类是通过证明这两条直线中的一条的平行线和另一条所成的角为90,（如练习4，都

可用上述的证明方法证明）.三、求值问题(解求值问题分三步:作,证,求)

1、异面直线所成的角

(1)异面直线所成的角的定义和范围.(2)作异面直线所成的角的平面角常用方法:平移法,补形法.练习:

1、在直三棱柱ABCA1B1C1中，CBA900,点D,F分别是A1C1,A1B1的中点，若

ABBCCC1,求CD与AF所成的角的余弦值。

C

1C

A

B2、在正四面体ABCD中, M,N分别是BC,AD的中点，求

AM与CN所成的角的余弦值。D3、正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都相等, 求AB1与BC1所成的角的余弦值。

4、如图所示,正方体ABCDAB

1B1C1D1中,(1)A1C1与B1C所成角的大小;(2)A

11C与AD1所成角的大小.方法指导与点评： 作异面直线所成的角的平面角有两种方法:平移法和补形法.一般情况下,如 果我们用平移法作异面直线所成的角的平面角时,我们可以考虑在其中一条直线的顶点或者中 点作另一条直线的平行线,常用的作平行线的方法有构造平行四边形和三角形的 中位线(如练 习1、2),有时我们在其中一条直线的顶点或者中点作另一条直线的平行线时,这条直线跑到图 形的外面去,此时考虑两条都要平移.如何平移呢？关键在于找到这样一条连接两条异面直线 端点的线段,然后在这条线段的中点作这两条异面直线的平行线(如练习3中BB 1);补形法就

是在长方体或者正方体中,当我们在其中的一条直线的顶点作另一条直线的平行线时,这条直线跑到图形的外面去,此时,可以考虑在原长方体或者正方体的旁边补上一个大小相同的长方体或者正方体,从而作出异面直线所成的角的平面角.2、直线与平面所成的角

直线与平面所成的角的定义和范围：

练习：

1、在正方体AC1中，求(1)BC1与平面ACC1A1所成的角;(2)A1B1与平面A1C1B所成的角.3、四棱锥中SABCD，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD

。已知

ABC450,AB

2,BCSASB（1）证明SABC；

（2）直线SD与平面SAB所成的角.A

方法指导与点评：求线面角的关键是寻找两“足”(斜足和垂足).垂足的 寻找方法:一般可以考虑从斜线的顶点或中点作平面的垂线,通常用到面面垂直的性质定理(如练习1)和三垂线定理，过斜边的顶点或中点作平面的垂线.有时候,我们必须考虑垂足到底在哪里,所以必须掌握点在平面内的射影的定位问题(详见立体几何证明常用方法),(如练习1第2问),有时候.我们过斜线的定点或中点作底面的垂线时,垂足不好确定,此时,考虑用点到平面的距离把垂线段的长度给求出来(如练习3的第2问).3、二面角

1、二面角的定义和范围

2、二面角平面角的定义

3、作二面角平面的方法

（1）根据定义的图形的特征作图

（2）根据三垂线定理或者逆定理的方法 练习:

1、在正方体中ACC11，过顶点在正方体中B、D、C1作截面，则二面角BDC1C的大小为

2、在正方体中AC1，二面角A1B1DB的大小为

C13、如图，在直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AEEB,F

为CE上的点，且BF平面ACE.(1)求证：AE平面BCE;(2)求二面角BACE的大小;(3)点D到平面ACE的距离.4、如图，在底面为平行四边形的四棱锥

PABCD中，ABAC,PA平面

ABCD,且PAAB,点E是PD的中点。

（1）求证：ACPB;

（2）求证：PB∥平面AEC;

（3）求二面角EACB的大小.C

E

D5、如图所示，过正方形ABCD的顶点A作PA平面ABCD，设PAABa求：

（1）二面角BPCD的大小;（2）平面PAB和平面PCD所成的二面角的大小。

方法指导与点评： 根据三垂线定理或者逆定理作二面角的平面角时,难点在于找到半平面的垂线,解决办法:线找面面垂直,利用面面垂直的性质定理即可找到半平面的垂线,然后作棱的垂线连接垂足与两垂线的端点,运用三垂线定理证明所求的角是二面角的平面角.如果二面角是钝角时,用三垂线法作二面角的平面角时,垂足跑到二面角的外面去,则可先求出二面角的补角的大小,然后求出二面角的大小(如练习4);若二面角无棱,则先作棱(常用线面平行的性质定理,如练习5).4、点到平面的距离 练习

1、在三棱锥SABC中，侧棱SASBSC7，AB6,BC8,AC10，求点S到

平面ABC的距离。

C

D2、在棱长为a正方体中AC1中，求点B1到平面A1BC1的距离。

3、在四棱锥MABCD中，MD平面ABCD, MDa。ABCD是边长为a的棱

形,DAB600，E是MB的中点。（1）求证：平面EAC平面ABCD；（2）求二面

3、棱锥的底面是等腰三角形,这个等腰三角形的底边长为12cm,腰长为 10cm,棱锥的侧面与

底面所成的二面角都是45,求棱锥的侧面积和体积。(顶点在底面三角形的射影为该三角形的内心)

C

角AECB的正切值；（3）求点E到平面MDC的距离。

方法指导与点评： 点到平面的距离常用的方法:直接法和间接法.利用直接法求距离需要找到

点到两面内的射影.(必须掌握点在两面内射影的定位问题,详见立体几何证明常用方法),其中,我们经常考虑两垂点的性质定理与几何图形的特征性质;间接法常用的是等积法和转移法,转移法即根据“如果一条直线和一个平面平行,则线上的点到面的距离相等”(如练习3).5、棱锥体积的计算和侧面积棱锥体积公式v1

3sh

练习:

1、如图所示，在直三棱柱ABCA900

1B1C1中，ABC,ABAC1.(1)求异面直线B1C1与AC所成的角的大小；

(2)若直线A0

1C与平面ABC所成的角为45，求三棱锥的体积A1ABC。

2、在三棱锥SABC中，已知SABC,SABCl,SA、BC的公垂线段EDh，求

在三棱锥SABC的体积。

C4、已知ABC中, AB2,BC1,ABC90 ,平面ABC外的一点P满足

PA

PB

PC2,求棱锥PABC的体积.(顶点在底面三角形的射影为该三角形的外心)

方法指导与点评：对三棱锥体积的计算要懂得灵活转换顶点的底，使得棱锥的高和底面面积能

求出来，其棱锥体积的方法常用的还有割补法。、球、正四面体的内切球的半径与正四面体的高的比为多少?内切球的半径与外切球的半径的比

为多少?、在长方体AC'中,AB3,AD4,AA15,则该长方体的外切球的的直径为

613、已知球O的半径为R，正方体的各顶点都在球O的表面上，则正方体的棱长为

3证明线线平行的方法：

R

立体几何中证明的常用方法

（1）证明这两条直线所在的四边形为平行四边形（2）构造三角形的中位线（3）公理4（4）线面平行的性质（5）面面平行的性质定理 证明线面平行的方法：

（1）线面平行的判定定理（2）面面平行的性质

证明面面平行的方法：

（1）面面平行的判定定理（2）垂直于同一条直线的两平面互相平行（3）平行的传递性 证明线线垂直的方法：

（1）线面垂直的定义（2）三垂线定理和逆定理（3）勾股定理（4）证明这两条直线所成的角为90o（5）证明其中的一条直线的平行线和另一条直线垂直 证明线面垂直的方法：

4、水盆里的水冬天结冰时,一个球漂在水上,取出后(冰面未受损),冰面上留下一个直径为

24cm,深为8cm的空穴,那么该球的半径为(C)

A 8cmB5、地球半径为R,在北纬30的圆上有A,B两点,A点在东经120,B点在西经60,则A,B

两点的球面距离为(D)A 

RB

3RD R RC 23

4（1）线面垂直的判定定理（2）面面垂直的性质（3）平行线中一条垂直一个平面，另一条也

R，6、设地球半径为R，在北纬450圈上有A、B两地，它们的纬线圈上的弧长等于求A、B两地的球面距离。( R)

垂直这个平面（4）直线垂直平行平面中的一个，也垂直另一个。

（5）如果两个相交的平面与第三个垂直，那么交线垂直于第三个平面。证明面面垂直的方法：

（1）面面垂直判定定理（2）定义法 作二面角的平面角的常用方法：

（1）定义法（2）三垂线法（3）垂面法 点在平面内射影的定位：

法

1、通常先过这一点作平面内一条直线的垂线，然后再证明这条垂线就是平面的垂线 法

2、利用面面垂直的性质定理

法

3、如果一个角所在平面外一点到这个角两边的距离相等，那么这个点在平面内的射影在这个角的平分线所在的直线上。

方法指导与点评：有关球面距离的计算,根据公式||R,需要先求出球心角,而要求球心角

则需要先求球心角所对的弦长,求出弦长后再根据图形的特征或者余弦定理求出球心角(如练习6),若球心角不是特殊角时则用反三角函数来表示.法

4、利用一些比较常用的结论： P为△ABC所在平面外的一点，1）若P到点A，B，C的距离相等，那么点P在平面内的射影是△ABC的外心

2）若P到直线AB，AC，BC的距离相等，那么点P在平面内的射影是△ABC的内心。3）若平面PAB，PBC，PCA与平面所成的二面角大小相等，那么点P在平面内的射影是△ABC的内心。

4）若直线PA与BC，PC与AB互相垂直，那么点P在平面内的射影是△ABC的垂心。5）若直线PA，PB，PC两两互相垂直，那么点P在平面内的射影是△ABC的垂心。

6）若平面PAB，平面PBC，平面PCA两两互相垂直，那么点P在平面内的射影是△ABC的垂

心。

有了上述这些结论，我们就可以很快的判断出某个点在某一平面内的射影的位置方便解题。