高考空间向量和立体几何空间几何体知识汇总_高考空间向量立体几何

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1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

2.空间向量的运算：OBOAABab;BAOAOBab;OPa(R)

运算律：⑴加法交换律：abba⑵加法结合律：(ab)ca(bc)

⑶数乘分配律：(ab)ab

3.共线向量

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量

或平行向量，a平行于b，记作a//b。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存在实数λ，使a＝λb。

4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

（2）①共面向量定理：如果两个向量,不共线，则向量与向量,共面的充要条件是存在实数对x、y使.Pxayb

②空间任一点、B、C，则OPxOAyOBzOC(xyz1)是．．．O．和不共线三点．．．．．．A．．．．．

PABC四点共面的充要条件.注：①②是证明四点共面的常用方法.5.空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使pxaybzc。

若三向量a,b,c不共面，我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x,y,z，使OPxOAyOBzOC。

6.空间向量的直角坐标系：

（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作A(x,y,z)。

（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,i,jk}表示。

（3）空间向量的直角坐标运算律：

①若a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，则ab(a1b1,a2b2,a3b3)，ab(a1b1,a2b2,a3b3)，a(a1,a2,a3)(R)，aba1b1a2b2a3b3，a//ba1b1,a2b2,a3b3(R)aba1b1a2b2a3b30。

a1a2a

3，b1b2b3

②若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB(x2x1,y2y1,z2z1)。③定比分点公式：若

A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，APPB，则点P坐标为

（x1x2y1y2z1z

2，)111。

推导：设P（x,y,z）则

(xx1,yy1,zz1)(x2x,y2y,z2z),显然，当P为AB

P（中点时，④

x1x2y1y2z1z2，)222。

ABC中，A（x,y1,z1）,B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)，三角形重心P坐标为

P（x1x2x3y1y2y3z1z2z3，）

333

⑤ΔABC的五心：

内心P

：内切圆的圆心，角平分线的交点。外心P

（单位向量）

垂心P：高的交点：（移项，内积为0，则垂直）

1AP()

3重心P：中线的交点，三等分点（中位线比）

中心：正三角形的所有心的合一。（4）模长公式：若a

(a1,a2,a3)，则|a|（5）夹角公式：cosab

，ab



|a||b|（6）两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则|AB|或dA,B

，(7)法向量：若向量a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a，如果a那么向量a叫做平面的法向量.(8)向量的常用方法：

①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一

条射线，其中A，则点B到平面②.异面直线间的距离 d

(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分

别是l1,l2上任一点，d为l1,l2间的距离).③.直线AB与平面所成角arcsin

ABm

(m为平面的法向量).|AB||m|

④.利用法向量求二面角的平面角定理：设1,n2分别是二面角l中平面,的法向量，则n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n1,n2方向相同，则为补角，n1,n2反方，则为其夹角）.二面角l的平面角arccos

mn

或

|m||n|

arccos

mn

（m，n为平面，的法向量）.|m||n|

⑤.证直线和平面平行定理：已知直线a平面，A,Ba,C,D，且C、D、E三点不共线，则a∥的充要条件是存在有序实数对,使AB

CDCE..7.空间向量的数量积:若OAa,OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作

a,b；且规定0a,b，|a||b|cosa,b叫做a,b的数量积，记作ab.1．平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)公理

2(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

三个作用：(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．

(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．

平行

共面直线

相交2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类 

异面直线：不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．

π[0,180])0，.（直线与直线所成角[0,90]）②范围：（向量与向量所成角23.a,b是夹在两平行平面间的线段，若ab，则a,b的位置关系为相交或平行或异面.4．直线与平面的位置关系 5．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 6．平行公理：

7．等角定理：

8、异面直线的判定方法：

(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 9.两异面直线的距离：公垂线段的长度.10.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.[注]：l1,l2是异面直线，则过l1,l2外一点P，过点P且与l1,l2都平行平面有一个或没有，但与l1,l2距离相等的点在同一平面内.（L1或L2在这个做出的平面内不能叫L1与L2平行的平面）11.直线与平面平行、直线与平面垂直.（1）直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这

条直线和这个平面平行.（“线线平行线面平行”）

（2）直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行线线平行”）

（3）直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个

P

平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 若PA⊥，a⊥AO，得a⊥PO（三垂线定理） 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直线面垂直”）

直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.12.平面平行与平面垂直.（1）平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行面面平行”）

推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.（2）两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行线线平行”）

（3）两个平面垂直判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直判定二：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直面面垂直”）

（4）两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.（5）两异面直线任意两点间的距离公式：l





O

A

m2n2d22mncos（为锐角取减，为钝角取加，综上，都取减则必有0,）

13.棱柱.棱锥.球

（1）棱柱：有两个面相互平行，其余各个侧面都是平行四边形

①{四棱柱}{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}.{直四棱柱}{平行六面体}={直平行六面体}.②.棱柱具有的性质：棱柱所有的侧棱都相等为平行四边形；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.．．．．．③.平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.．．．．．．．．．．．．．定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为,,，则co2sco2sco2s1.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为,,，则

co2sco2sco2s2.（2）棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.a.①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面正多边形的中心.②正棱锥的侧面积：S

1Ch'（底面周长为C，斜高为h'）体积：V2

3S底h

③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：S侧

S底cos

（侧面与底面成的二面角为）

b.棱锥具有的性质：正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.（3）球：a.①球的表面积公式：S4R.②球的体积公式：V

R.3

b.①圆柱体积：Vrh②圆锥体积：Vr2h（r为半径，h为高）

③锥体体积：V

Sh（S为底面积，h为高）3

2326

a，a，S侧a，S底

443

c.①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，h

得

26321322426

aaaRaRRa/3a3a.434344344

R

O