广东省肇庆市4月第二次模拟数学理试题(WORD版,含答案,8,13解析)_高考数学模拟试题理

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广东省肇庆市2014届高三4月



2A)的值；（2）求cos(AB)的值.cm3B．30cm3C．40cm3D．42cm3 2xa,x

17．已知实数a0，函数f(x)，若

x2a,x1

f(1a)f(1a)，则a的值为

3333A．B．C．D．

554

4A

17.（本小题满分12分）

为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200

（1（2）若采用分层抽样的方法从不喜欢数学课的学生中随机抽取5人，则男生和女生抽取的人数．．．分别是多少？

（3）从（2）随机抽取的5人中再随机抽取3人，该3人中女生的人数记为，求的数学期望.18.（本小题满分14分）

如图5，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 2的菱形，且DAB=60.侧面PAD为正三角形，其所在的平 面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点.（1）求证：BG平面PAD；

（2）求平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的 余弦值；

（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论.19.（本小题满分14分）

如图6，圆C:(x2)2y236，P是圆C上的任意 一动点，A点坐标为（2，0），线段PA的垂直平分线l与半 径CP交于点Q.（1）求点Q的轨迹G的方程；（2）已知B，D是轨迹G上不同的两个任意点，M为BD的中点.①若M的坐标为M（2，1），求直线BD所在的直线方程；②若BD不经过原点，且不垂直于x轴，点O为轨迹 G的中心.求证：直线BD和直线OM的斜率之积是常数（定值）.20.（本小题满分14分）

已知正项数列{xn}满足xn（1）证明：xn

1xn1

2（nN*）.n1n11

xn（2）证明：xnxn1；（3）证明：.2；

nnxn

21．（本小题满分14分）

已知函数f(x)a(x)2lnx，aR．

（1）若a=1，判断函数f(x)是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（2）求函数f(x)的单调区间；（3）设函数g(x)值范围．

1x

a

．若至少存在一个x0[1,e]，使得f(x0)g(x0)成立，求实数a的取x

高三数学（理科）

数学（理科）参考答案及评分标准

.（5分）

2222

（2）由余弦定理BCABAC2ABACcosA（7分）

122

∴BC34234（8分）

∴sin（

A)cosA

8题解析：圆k的圆心（k-1，3k）在直线y=3（x+1）上运动，因此存在定直线y=3（x+1）与所有的圆均相交；因圆Ck的半径rk

2k2在变化，故①③错，②正确.对于④：假设存在某个圆经过原点，则(k1)2(3k)22k4（*），下面转化为这个关于k的方程是否有正整数解，可以从k的奇偶性分析：

①若k为奇数，则k-1为偶数，3k为奇数，于是(k1)2为偶数，(3k)2为奇数，从而方程（*）的左边为奇数，但方程（*）的右边为偶数，矛盾！

②若k为偶数，则k-1为奇数，3k为偶数，于是(k1)为奇数，(3k)为偶数，从而方程（*）的左边为奇数，但方程（*）的右边为偶数，矛盾！

综上知，假设不成立，故④正确.二、填空题

ACsinA239，（9分）

BC1

3又B为锐角，得cosB

sin

B.（10分）

∴cos(AB)cosAcosBsinAsinB（11分）

由正弦定理得sinB

1（12分）

2642

210．[-3，1]11．512． 33

13．414．sin315．

0xy202

13题解析：由，得

0x10OPOA

11x

(st)sxy0xy20st22

设M（s，t），则，解得，由，得.1txy0x10s2y(st)2

9．三、解答题

16.（本小题满分12分）解：（1）∵SABC∴sinA

17.（本小题满分12分）

200(30906020)2

2解：（1）∵K6.0615.024，（2分）

9011050150

∴约有97.5%以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”.（4分）

（2）男生抽取的人数有：52（人）（5分）

609090

女生抽取的人数各有：

53（人）（6分）

6090

（3）由（2）可知，男生抽取的人数为2人，女生抽取的人数为3人，所以的取值为1，2，3.（7分）

13C3C2C32C2C3361

P(1)3，P(2)3，P(3)3，C510C510C510

所以的分布列为：

ABACsinA34sinA3，（2分）22

分）

所以的数学期望为E1

.（3分）12

又△ABC是锐角三角形，∴cosAsinA，（4分）

361

231.8（12分）101010

18.（本小题满分14分）（1）证明：连结BD.因为ABCD为棱形，且∠DAB=60°，所以ABD为正三角形.（1分）又G为AD的中点，所以BG⊥AD.（2分）

高三数学（理科）

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，（3分）∴BG⊥平面PAD.（4分）解：（2）∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.∵PG平面PAD，由（1）可得：PG⊥GB.又由（1）知BG⊥AD.∴PG、BG、AD两两垂直.（5分）

故以G为原点，建立如图所示空间直角坐标系Gxyz，x2y

21.（5分）所以，点Q的轨迹G的方程为9

5（2）①设B、D的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，225x19y145则2（6分）

25x29y24

5两式相减，得5(x1x2)(x1x2)9(y1y2)(y1y2)0，（7分）

PGPDcos303，GBABsin60，（6分）

所以G(0,0,0)，D

(0,1,0)，PC

2,0x1x2

4当BD的中点M的坐标为（2，1）时，有，（8分），y

1y22PD0,1，PC

所以20(xyy210

（7分）

1x2)18(y1y2)0，即kBD1xx.129

设平面PCD的法向量为n

（x，y，z)，∴n·PD0，即y0

故BD所在的直线方程为y110

n·PC

2y0

9(x2)，即10x9y290.②证明：设B(x1,y1),D(x2,y2)，且x1x2，令z1，则x1，yn(

（8分）

又平面PBG的法向量可为AD0，2，0，（9分）由①可知kyy25(xx)

BD1xx12,129(y1y2)设平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角为，则 又ky1y2

OM∴cos

n·ADxx12

|n·||AD| 所以k5(x1x2)y1y25

BDkOM即平面PBG与平面PCD9(yx（定值）.1y2)x129

（10分）

（3）当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.（11分）

20.（本小题满分14分）取PC的中点F，连结DE，EF，DF，CG，且DE与CG相交于H.证明：（1）因为E、G分别为BC、AD的中点，所以四边形CDGE为平行四边形，方法一：因为1故H为CG的中点.又F为CP的中点，所以FH//PG.（12分）xn0，所以xn由（2），得PG平面ABCD，所以FH平面ABCD.（13分）x2x

1n2，nxn

又FH平面DEF，所以平面DEF⊥平面ABCD.（14分）1

故xn

x2，当且仅当xn1时，等号成立.19.（本小题满分14分）

n

方法二：

解：（1）圆C的圆心为C（-2，0），半径r=6，CA4.（1分）因为连结QA，由已知得QAQP，（2分）xn0，所以xn1x2(x1

2nx)0，nn

所以QCQAQCQPOPr6CA.（3分）故x1

根据椭圆的定义，点Q的轨迹G是中心在原点，以C、A为焦点，长轴长等于6的椭圆，n

x2，当且仅当xn1时，等号成立.n

即a=3，c=2，b2

a2

c2

945，（4分）

（2）由（1）知x1nx2，又x1n2，nxn1

高三数学（理科）

9分）

10分）（11分）（12分）14分）

1分）（2分）1分）（2分）（（（（（所以

x，所以xnxn1.（4分）nxn1

（3）先证：xn1

nn

当n=1时，不等式显然成立；（5分）

假设当n=k（kN*）时不等式成立，即xk1

k

k.（6分）当n=k+1时，由xn

1x2得xk1

12x1kn1

k

2

k1k1，（7分）

k

即当n=k+1时，不等式成立；（8分）

综上，对一切nN*

都有x1

n

nn

成立.（9分）再证：x1

n

nn

由xn0及xn

1x2（nN*），得x2（nN*

n），n1

所以当n=1时，不等式显然成立；（10分）

当n2时，假设存在k，使得xk1

kk，（11分）

则有x1k12x1k，即xk

k1，k2

k1k1k1

k

所以xk1k23

k2k2，xk3k3，┅，x2k22，x2k12，（12分）

与题设x1

2k1x2矛盾.（13分）

2k

所以对一切nN*

都有xn1nn成立.（14分）

所以对一切nN*

都有n1nxn1nn

成立.21.（本小题满分14分）

解：（1）当a1时，f(x)x1

x

2lnx，其定义域为（0，+）.因为f(x)112x1x

2x（x)2

0，（1分）所以f(x)在（0，+）上单调递增，（2分）所以函数f(x)不存在极值.（3分）（2）函数f(x)a(x1x)2lnx的定义域为(0,)．

f(x)a(112ax22xa

x2)xx

当a0时，因为f(x)0在（0，+）上恒成立，所以f(x)在（0，+）上单调递减.（4分）当a0时，当x(0,)时，方程f(x)0与方程ax2

2xa0有相同的实根.（5分）

44a24(1a2)

①当0a1时，>0，可得x1a21a2

1a，x2a，且0x1x2

因为x(0,x1)时，f(x)0，所以f(x)在(0,x1)上单调递增；（6分）因为x(x1,x2)时，f(x)0，所以f(x)在(x1,x2)上单调递减；（7分）因为x(x2,)时，f(x)0，所以f(x)在(x2,)上单调递增；（8分）

②当a1时，0，所以f(x)0在（0，+）上恒成立，故f(x)在（0，+）上单调递增.（9分）

综上，当a0时，f(x)的单调减区间为（0，+）；当0a1时，f(x)的单调增区间为

1a21a21a21a2(0,a)与(a,)；单调减区间为(a,a)；当a1时，f(x)的单调增区间为（0，+）.（10分）（3）由存在一个x0[1,e]，使得f(x0)g(x0)成立，得ax2lnx0

02lnx0，即ax.（11分）

令F(x)2lnx

x，等价于“当x[1,e] 时，aF(x)min”.（12分）

因为F(x)2(1lnx)

x，且当x[1,e]时，F(x)0，所以F(x)在[1,e]上单调递增，（13分）故F(x)minF(1)0，因此a0.（14分）

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