第5讲直线、平面垂直的判定及性质由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“平面垂直的判定及性质”。
第5讲直线、平面垂直的判定及性质
1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．
2.能运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题.1个重要关系
垂直问题的转化关系：
2种必会方法
1.证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∥b，a⊥α＝b⊥α；③α∥β，a⊥α⇒a⊥β；④面面垂直的性质．
2.判定面面垂直的方法有：①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． 3点必须注意
1.解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程，如用判定定理证明线面垂直时，一定要体现出“平面中的两条相交直线”这一条件．
2.两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，应用时常添加的辅助线是在一平面内作两平面交线的垂线．
3.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.课前自主导学
1.直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
直线l与平面α内的________直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(1)命题：如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直是真命题吗？其逆命题呢？
(2)如果两条平行线中有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面吗？ 2．平面与平面垂直
吗？
(2)如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的任何一条直线都和另一个平面垂直吗？(3)如果两个平面都和第三个平面垂直，那么这两个平面平行吗？
考点一：有关垂直关系的判断
例1 若有平面α与β，且α∩β＝l，α⊥β，P∈α，P∉l，则下列说法中错误的是________．(填序号)
①过点P且垂直于α的直线平行于β； ②过点P且垂直于l的直线平行于β； ③过点P且垂直于β的直线在α内； ④过点P且垂直于l的直线在α内．
点拨：本题利用了几何图形来判断真假．解决本类问题应注意以下几点：
(1)作图要熟练，借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准、甚至无需作图在头脑中形成印象来判断．
(2)善于寻找反例，只要存在反例，那么结论就被驳倒了．
(3)要思考完整，反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明．
[变式探究] [2012·浙江高考]设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是()
A.若l∥α，l∥β，则α∥βB.若l∥α，l⊥β，则α⊥β C.若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD.若α⊥β，l∥α，则l⊥β 考点二：直线与平面垂直的判定与性质 例2 [2012·福建高考]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．
(1)求三棱锥A－MCC1的体积；
(2)当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC.奇思妙想：在棱A1B1上是否存在一点N，使D1N∥平面A1BM？证明你的结论？
点拨：垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来． [变式探究] [2012·北京高考]如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
考点三：平面与平面垂直的判定与性质 例3 [2012·江苏高考]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点.求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.点拨：证明面面垂直的方法：证明一个面过另一个面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线与添加辅助线解决．
[变式探究] [2012·江西高考]如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝42，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积．
考点四：线面角、二面角的求法 例4 [2012·浙江高考]如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．
(1)证明：①EF∥A1D1；②BA1⊥平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．
点拨：1．求角的大致步骤：一找角，二证明，三求解．
2．线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足．
3．二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法．
[变式探究] 如图所示，三棱锥P－ABC中，D是AC的中点，PA＝PB＝PC＝5，AC＝22，AB＝2，BC＝6.(1)求证：PD⊥平面ABC；
(2)求二面角P－AB－C的正切值大小．
经典演练提能1.[2012·安徽高考]设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 2．[2012·宿迁模拟]已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题： ①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n； ③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是()A．①③B．②④C．①④D．②③
3．如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有________．(填序号)①平面ABC⊥平面ABD ②平面ABD⊥平面BCD ③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE ④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE
4．[2012·辽宁高考]已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形．若PA＝26，则△OAB的面积为________．
