《应用统计与随机过程》第1次小班讨论课(讲解)_应用随机过程课程感悟

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《 应用统计与随机过程》第1次小班讨论课

随机过程的预测与相关性之间的关系

设随机过程X(t)的相关函数为RX()E[X(t)X(t)]0.8||/T，若已知X(t)某一样本函数在tT、t2T的值x(T)、x(2T)，预测x(3T)的值，采用最优线性预测，即：

ˆ(3T)ax(T)bx(2T)x最优准则为：minE{[X(3T)aX(T)bX(2T)]2}

a,bˆ(3T)。假设x(T)0.8、x(2T)0.5，求x讨论：若X(t)为正态随机过程，X1X(T)、X2X(2T)、X3X(3T)ˆ(3T)、minE{[X(3T)aX(T)bX(2T)]2}与条服从3维联合正态分布，则xa,b件概率密度分布函数fX3|X2X1(x3|x2,x1)的均值参数及方差参数的关系。

解：

g(a,b)minE{[X(3T)aX(T)bX(2T)]2}a,bminE{X2(3T)a2X2(T)b2X2(2T)a,b 2aX(3T)X(T)2bX(3T)X(2T)2abX(T)X(2T)}min{E[X2(3T)]a2E[X2(T)]b2E[X2(2T)]a,b

2aE[X(3T)X(T)]2bE[X(3T)X(2T)]2abE[X(T)X(2T)]}min{RX(0)a2RX(0)b2RX(0)2aRX(2T)2bRX(T)2abRX(T)}a,ba,bmin{1a2b21.28a1.6b1.6ab}联立方程g(a,b)g(a,b)0、0，求得：a0、b0.8。abˆ(3T)bx(2T)0.80.50.4 xminE{[X(3T)aX(T)bX(2T)]2}a,b

1020.821.2801.60.81.600.80.36RX()0，说明X(t)是零均值的。随机矢量[X1 X2 X3]T的协方差矩阵为 K3E{[X1 X2 X3]T[X1 X2 X3]}E[X1X1]E[X2X1]E[X3X1]0.8110.80.640.8E[X1X3]RX(0)RX(T)RX(2T)R(T) E[X2X2]E[X2X3]R(0)R(T)XXXE[X3X2]E[X3X3]RX(0)RX(2T)RX(T)0.640.81E[X1X2]X1、X2、X3的联合概率密度分布函数为

x111exp[x x x]Kx1233212322|K3|x31fX3X2X1(x3,x2,x1)

1222[0.36x0.5904x0.36x1123exp20.1296320.36 0.576xx0.576xx]1223K2E{[X1 X2]T[X1 X2]}E[X1X1]E[X1X2]RX(0)RX(T)10.8

R(T)R(0)0.81E[XX]E[XX]2122XXX1、X2的联合概率密度分布函数为 fX2X1(x2,x1)11x11exp[x x]K12212x222|K2|21

122exp[xx1.6xx1212220.3620.6条件概率密度函数

fX3|X2X1(x3|x2,x1)fX3X2X1(x3,x2,x1)fX2X1(x3,x2,x1)11exp(x30.8x2)2

20.620.36X1x1、X2x2已知情况下，X3的条件均值为0.8x2，概率密度函数在条ˆ30.8x2为最大似然估计，正态分布情况下，线件均值处取得最大值，因此，xˆ3的变化方差为0.36,即为最优线性性最优估计与最大似然估计等价，X3围绕x估计的精度minE{[X(3T)aX(T)bX(2T)]2}。

a,b