数学小论文答辩稿_数学论文答辩稿

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论文答辩稿

老师们，同学们：上午好！

我的论文题目是《含锌量高还是含铜量高》。经过对两个生活常识的数学原理的探究，我发现一个常识是正确的，而另一个常识是错误的。

下面我分五部分进行阐述：

（一）问题缘起

（二）初探常识

（三）再探常识

（四）过程反思

（五）常识和发现。

（一）问题缘起：

问题起源于老师在讲解课本上的一道习题时所引用的一个理由。此习题见于浙教版数学九年级上册第一章《目标与评定》第15题（3）。本题是已知两种硬币A和B的质量和体积，它们都由铜和锌组成，铜和锌的密度已知，问哪一种硬币含锌量较高？请说明理由。

老师给出的答案是：经计算可得A，B的密度分别是7.56 g/cm3和8 g/cm3。由于A的密度更接近锌的密度，所以A含锌量较多。

这个理由是显然的吗？这个理由中包含了一个生活常识：要想得到“生轻一些”的混合物，显然要使它多含有“生轻一点”的物质。（生轻，温州方言，即密度小；下文中的“生重”，即密度大）。这个常识对吗？能否用数学知识来解释这个常识呢？

（二）初探常识

我首先把以上的常识转化为数学命题：设有两种金属物质A和B，密度分别为a和b（ab），取A和B质量分别为z,x 制成合金C，密度为y，质量为1。则y随着x的增大而减小。（为了简洁起见，文中省略了各种量的单位，并把合金质量定为1，这样两种物质的质量即是它们在合金中的含量）。

接着我运用数学知识去证明这个命题的正确性。根据密度定义可以得到y与x的函数关系式：y1zxabababab。由于分母随x

bzaxb(1x)ax(ab)xb的增大而增大，从而y随着x的增大而减小。

我又试着取a和b的一组值去验证结论。通过画出函数图像也得到了y随着x的增大而减小。

以上过程说明第一个生活常识是正确的。

（三）再探常识

解决了第一个问题，我联想到了另一个问题：B硬币中含锌量高还是含铜量高？

我想当然的认为B的密度更接近锌的密度，显然B中含锌量高。因为我根据的是另一个常识：

一种合金由“生轻”和“生重”两种金属组成，合金比较“生轻”，“轻”得更接近“生轻”的金属，那么合金中“生轻”的金属的含量比“生重”的金属含量高。

接着我着手证明这个常识。

我把它转化为数学命题：设有两种金属物质A、B，密度分别为a,b(ab).取两种金属质量分别为m,n，制成合金C质量为1，密度为c。如果accb,则nm。

条件accb就是表示c更接近b，也可转化为cab，即当合金C的2密度小于a,b的平均数时，合金中“轻一点”的物质含量较高。

我根据密度定义列出方程求出m为了比较nma(cb)b(ac)，n。

c(ab)c(ab)m、n的大小，我求它们的差b(ac)a(cb)2abc(ab)。我通过种种方法想证明分子为正数，c(ab)c(ab)c(ab)但都没有成功。

我试着取a、b、c的几组值去计算，却发现2abc(ab)不一定是正数，如a3,b2,c2.4，计算2abc(ab)2322.450，此时nm。其意义是c接近b时，“生轻”和“生重”两种金属含量相等。又如

a3,b2,c2.5，计算2abc(ab)2322.550.5。此时nm

其意义是合金密度取“生轻”和“生重”两种金属的平均密度时，合金中“生重”金属的含量高。

这时我发现生活常识二是错误的！

虽然发现常识二错了，但我确信对于类似的混合糖果问题的结论是正确的： 糖果问题：取A、B两种糖果混合得混合糖果C，若混合糖果的价格更接近“较便宜”的糖果，则C中含有较多的“较便宜”的糖果。

同样我把它转化为数学命题：设有两种糖果A、B，单价分别为a元/千克和b元/千克（ab），各取质量m千克和n千克，混合成糖果C，其质量为1千克，单价为c元/千克。

ab如果accb,即c,则nm。

2cbac(ab)2c根据混合糖果价格的规定我计算得到nm。很ababab明显n –m>0, 所以糖果问题的结论是正确的。

为什么类似两个问题一错一对呢？原因在哪里？ 我比较了合金密度和混合糖果的单价计算公式： 合金密度m1m2mm2

1m1m2V1V212混合糖果的单价cam1bm2

m1m2我发现混合糖果的单价计算式中，单价a,b是权数，表达了m1,m2的权重，c是加权平均数。而合金密度计算式中，密度1,2的作用并不是权重。

怎样修正问题的条件，使得生活常识二是正确呢？仿照糖果单价，我定义密度的倒数为物质的“疏度”，记为。1V。疏度可表述为单位质量所占m有的体积。显然，若疏度越大，则密度越小。

现在合金的疏度计算式是合V1V2m2n1，它完全类似于糖果的m1m2m1m2单价计算式。

有了疏度概念以后，我把常识二修正为：设有两种金属物质A、B，疏度分别为a,b(ab)，质量分别为m,n，制成合金C，质量为1，疏度为c。如果ab,则nm。这里仅仅是用疏度替换了密度概念。2由于合金的疏度计算式和糖果的单价计算式完全类似，因此同样的证明可应用于修正后的常识二。

能不能应用疏度问题的结论来探究原来的密度问题呢？ 把“疏度”仍用密度概念来表示，则得

1122ab1ab当时，即c时，nm。其意义是当合金密度超过11abc2ab2ab2ab时，合金中密度较大的物质的含量才会较高，而当合金密度等于时，abab合金中两种密度的物质含量才会相等。

至此，原来的合金密度问题即常识二得到了明确的结论。

（四）过程反思

以上是我对两个常识的数学原理的探究和解决过程。我对此进行了反思，我有三点体会：

1.在研究数学问题的过程中，联想和类比，实例验证是非常有效的思想方法。

2.在原问题“生活常识二”被证伪之后，我仍不放弃，联想类似的问题，比accb,即c较两者的异同，创造了一个新概念，改变了常识二的表述，创造了一个新结论，并借助新问题的结论解决了原来的问题。这种解决问题的方法可以说是“移花接木”。

3.另外，我的探索过程也可以说是“山不过来我过去”，如果结论不对（山不过来），就改变问题（我过去）。我把密度问题变成了疏度问题。这种思想方法将助力我们发现一个崭新的数学世界。

（五）常识和发现

这篇论文是探究一个习以为常的常识生发出来的。我知道许多科学和数学的发现往往起源于习以为常的常识，对常识问个为什么，或者质疑常识，从而去探究其中的数学原理，这是数学的一条发现之途、一个创新之源。探究常识，探究司空见惯的现象，我们将会发现其中蕴含着许多深刻的数学和科学原理。

谢谢！