举例说明函数奇偶性的几种判断方法（材料）_判断函数奇偶性的方法

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举例说明函数奇偶性的几种判断方法

胡彬

在函数奇偶性概念的学习中，应多方面、多角度地思考概念的内涵，要掌握函数奇偶性定义的等价形式，注重寻求简捷的解题方法，函数奇偶性的定义是：如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)（或f(x)f(x)），那么函数f(x)就叫做奇函数（或偶函数）。函数奇偶性的定义反映在定义域上：若f(x)是奇函数或偶函数，则对于定义域D上的任意一个x，都有xD，即定义域是关于原点对称的。函数奇偶性定义给出了判断奇偶函数的方法。

下面给出函数奇偶性判断的其他等价形式，寻求比较简便的判别方法。1.相加判别法

对于函数定义域内的任意一个x，若f(x)f(x)0，则f(x)是奇函数；若f(x)f(x)2f(x)，则f(x)是偶函数。

例1

判断函数f(x)lg(xx21)的奇偶性。解法1：利用定义判断，由f(x)lg(x(x)21)

lg(x21x)(x21x)x1x2lgx21x2x1x2lg1x1x2

lg(x21x)1lg(xx21)f(x)，可知f(x)是奇函数。

解法2：由x∈R，知xR。因为f(x)f(x)lg(xx21)lg(x(x)21)

lg[(xx21)(x(x)21)]lg10，所以f(x)lg(xx21)是奇函数。

2.相减判别法

对于函数定义域内任意一个x，若f(x)f(x)2f(x)，则f(x)是奇函数；若f(x)f(x)0，则f(x)是偶函数。

例2 判断函数g(x)xx的奇偶性。2x12xxxx(2x1)xx解：由x∈R，知xR。因为g(x)g(x)x

2x1212212xxx0，所以g(x)是偶函数。

3.相乘判别法

对于函数定义域内任意一个x，若f(x)f(x)f2(x)，则f(x)是奇函数；若f(x)f(x)f2(x)，则f(x)是偶函数。

x(ax1)(a0，a1)是偶函数。例3 证明函数f(x)ax1x(ax1)(x)(ax1)x(ax1)证明：由x∈R，知xR。因为f(x)f(x) xxxa1a1a1(x)(1ax)x(ax1)2f(x)，所以f(x)是偶函数。xx1aa1

4.相除判别法

对于函数定义域内任意一个x，设f(x)0，若

2f(x)1，则f(x)是奇函数；若f(x)f(x)1，则f(x)是偶函数。f(x)

ax1(a0，a1)是奇函数。例4

证明函数f(x)xa1证明：由ax10，知x0且xR，所以定义域关于原点对称。

f(x)ax1ax1(ax1)(ax1)axax因为f(x)0，xxxx1，所以f(x)xxf(x)a1a1(a1)(a1)aa是奇函数。

点评：上述各例，若用定义判定，则困难程度可想而知。用等价定义判断解析式较为复杂的函数的奇偶性时，方便快捷，可化繁为简，会使大家感到思路清晰，目标明确，思维视野大为开阔，值得同学们注意。

练一练：

已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)1，且对任意的x∈R，都有f(x5)f(x)5，f(x1)f(x)1。若g(x)f(x)1x，则f(2006)________。

答案：1（提示：由f(x)5f(x5)f(x4)1f(x3)2f(x2)3f(x1)

4f(x)5，所以其中等号均成立，f(x1)f(x)1。由f(1)1得f(2)f(1)12，f(3)f(2)13，…，f(2006)2006，从而有g(2006)f(2006)120061）