我也说说祖冲之_祖冲之和祖暅

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谈谈祖冲之

物理研究所

09级某白

这里就自己的一些了解来谈谈我国南北朝时期的大数学家祖冲之。

中国古代的数学，可以说研究深入，涉猎广泛，但是很难看出什么具体的体系。而且中国古人对数学也更加偏重于应用而非论证，所以虽然在一些方面会取得当时非常先进的正确结论，但是就对数学发展的贡献而言，却没有能和欧几里得的《原本》相媲美的成就。所以这里仅对自己了解的祖冲之几点科学成就说说自己的看法。

先谈谈关于球体积的计算。祖冲之和祖暅之完善了刘徽对于两柱体相交围成的“牟盒方盖”的研究，进而得到了精确的球体积公式。他们当时采用的一条原理是：“幂势既同，则积不容异。”数学上也称这一原理为“祖暅原理”，也就是“等积原理”。首先得说明，刘徽虽然设想了“牟盒方盖”这一几何体，祖冲之也是顺着这一思路继续讨论下去的，但是实际上其结构较球体更为复杂，虽然可以简单的证明它与等直径的球体体积比为4/π，但是对于真正球体积的计算进程可以说是贡献甚微。

祖冲之没有再直接研究这一几何体的体积，转而考虑它与外接立方体的体积差，才得到了精确的球体积公式。值得注意的是，阿基米德在计算球体积的时候，同样是考虑球体积与其外接圆柱的体积差，从而将半球的体积转化为圆柱与圆锥的体积差，得到了球体积公式。也就是说，祖冲之的做法与阿基米德相比，只是将牟盒方盖的八分之一体积转化为立方体与四棱锥的体积差，本质上几乎没有区别。因而刘徽的方盖只起到了一个“化圆为方”的作用，对于解决题目本身几乎没有帮助，甚至于使推导中几何体的构型更加复杂。可以想象，祖冲之很可能本来就得出了和阿基米德类似的球体积推导过程，只是在古人“述而不作”的习惯下，将这一过程套用到对牟盒方盖的研究中再传世，算是对刘徽所做工作的尊重。

再说说祖冲之在历法上的贡献和他的《大明历》。

首先，祖冲之精确地测算出一个回归年的长度为365.24281481日，误差只有50秒左右。据此他提出应将前人每19年设7个闰月的做法改为每391年中设[1]置144个闰月。

另外，随着天文学的逐渐发展，我国古代科学家们渐渐发现了岁差的现象。西汉的邓平、东汉的刘歆、贾逵等人都曾观测出冬至点后移的现象，不过他们都还没有明确地指出岁差的存在。到东晋初年，天文学家虞喜才开始肯定岁差现象的存在，并且首先主张在历法中引入岁差。后来到南朝宋的初年，何承天认为岁差每一百年差一度，但是他在他所制定的《元嘉历》中并没有应用岁差。祖冲之继承了前人的科学研究成果，不但证实了岁差现象的存在，算出岁差是每四十五年十一个月后退一度，而且在他制作的《大明历》中应用了岁差。因为他所根据的天文史料都还是不够准确的，所以他提出的数据自然也不可能十分准确。尽管如此，祖冲之把岁差应用到历法中，在天文历法史上却是一个创举，为我国历法的改进揭开了新的一页。到了隋朝以后，岁差已为很多历法家所重视了，像《大业历》、《皇极历》等中都应用了岁差。

最后，祖冲之能够准确求出历法中通常称为“交点月”的日数。所谓交点月，就是月亮连续两次经过“黄道”和“白道”的交叉点，前后相隔的时间。黄道是指我们在地球上的人看到的太阳运行的轨道，白道是我们在地球上的人看到的月亮运行的轨道。交点月的日数是可以推算得出来的。祖冲之测得的交点月的日数是27.21223日，同近代天文学家所测得的交点月的日数27.21222日已极为近似。在当时天文学的水平下，祖冲之能得到这样精密的数字，成绩实在惊人。祖冲之在他制订的《大明历》中，应用交点月推算出来的日、月蚀时间比过去准确，和实际出现日、月蚀的时间都很接近。

此外，祖冲之对木、水、火、金、土五大行星在天空运行的轨道和运行一周所需的时间，也进行了观测和推算，与现代科学家测算结果相比误差很小。

后来，祖冲之把精心编成的《大明历》送给政府，请求公布实行。宋孝武帝命令懂得历法的官员对这部历法的优劣进行讨论。在讨论过程中，祖冲之遭到了以戴法兴为代表的守旧势力的反对。戴法兴是宋孝武帝的亲信大臣，很有权势。由于他带头反对新历，认为古代圣贤的测算结果是万世不可改变的，朝廷大小官员也就都随声附和，不赞成改变历法。但是祖冲之对于权贵势力浅陋的攻击毫无惧色，写了篇驳议据理力争。最后，在辩论中他凭借自己多年的天文观测结果指出了古人所创历法的误差，将保守势力的看法一一驳倒，坚持改革。在这场大辩论中，许多大臣被祖冲之精辟透彻的理论说服了，但是他们因为畏惧戴法兴的权势，不敢替祖冲之说话。不过，终于有个叫巢尚之的重臣出面支持祖冲之，使得宋孝武帝决定在大明九年（465）改行新历。但大明八年孝武帝死了，接着统治集团内发生变乱，改历这件事就被搁置起来。一直到梁朝天监九年，新历才被正式采用，可是那时祖冲之已去世十年了。

当然，说起祖冲之，最广为流传的莫过于他对于圆周率的计算结果。据《隋书律历志》记载：

古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘哉，张衡，刘徽，王蕃，皮延宗之徒各设新率，未臻折衷。宋末，南徐州从事史祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一舟五厘九毫二秒七忽，且弼数三丈一足四寸一分五厘九毫二秒六忽。正数在盈且弼二限之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率：圆径七，圆周二十二。

可以清楚地看到，祖冲之已经给出了3.1415926

了解自己的历史是人类的一个永恒的话题，这本来是个好事，但麻烦的地方就是古人的记录总是显得不够详尽，随着年代的流逝，各种所谓的“不解之谜”也就多起来了，让后来的好事者大费脑筋进行着或许有意义或许无谓的探寻——祖冲之的圆周率也是这样的一个情况。祖冲之的著作《缀术》，今天已经失传了，虽然它在唐朝曾被当做当时“大学”里的标准教科书使用了很久，但终因“学官莫能深究其深奧，是故废而不理”，以至于现在对《缀术》的内容完全是猜测，而没有任何实证。

祖冲之究竟是怎样算出圆周率到小数点后7位的？据信这些应该在他的著作《缀术》里有讲解，但既然书已失传，细节就无从得知了。现在大家的普遍推测是利用刘徽所创的“割圆术”，即从正六边形开始，不断利用倍边公式将正多边形的边数加倍并计算其周长，从而得到越来越精确的圆周率。刘徽利用这种方法做了4次迭代，用正96边形得到的圆周率为：3.141023

若想直接利用割圆术将圆周率算至祖冲之的精度，就需要需要计算圆内接正126×2=24576边形的边长。说起来这样迭代12次，好像没什么稀奇，但是需要知道，早在南北朝的时候，成熟的算盘都还没有，只能利用大量的计算只能用算筹来进行，倍边公式不可避免的要用到开方，在这样简陋的计算工具面前计算高精度圆周率就显得是浩大无比的工程了。试想，若是计算中稍有不慎，将摆好的算筹碰乱了一两位，那么计算结果就是毫无意义的了。

有一个推测是这样进行的：

祖冲之时代，天文学上利用差分法就极为盛行了（当时称为闰周算法[2]）。因而在计算圆周率时，正a边形的边长用现代数学符号就是2sin(π/a)。用正a=3×2n边形数据近似π值就是asin(/a)32nsin(2n/3)，计为π(n)。用差分法可以得到序列π(2)-π(1)，π(3)-π(2)，π(4)-π(3)...很容易可以发现，它们非常接近公比为1/4的等比序列。由

[(n1)(n)][(n2)(n1)]()(n)(n)

就可以得到π的更精确表达式[4(n1)(n)]/3,如果有必要，还可将此数列记为1(n)的话，还可以再作差分，由此可以得出2(n)，3(n)…由此，实际上根据48边形的边长就可以算出π的近似值2(n)是3.14159265，完全不会用到更多边形。这也是古代筹算可以承受的数字。

当然，这其实就是数值分析里著名的龙贝格加速法，威力很强大，过程很简单。最根本的原因是用泰勒展开后：

f(n)nsinn33!n255!n477!n6

不难发现limnf(4n)f(2n)1，f(2n)f(n)44故f(n)[f(n)f(2n)][f(2n)f(4n)][f(n)f(2n)]

3即有[4f(2n)f(n)]/3，将其记为limnf1(4n)f1(2n)1，f1(2n)f1(n)16f1(n)的话，有类似的计算可以得到：[16f1(2n)f1(n)]/15。

当然，以上的演算只是猜测而已，没有任何证据表明祖冲之确实利用了这种算法。而对于祖冲之给出的约率和密率，则可能的迭代过程如下[3]： 先假定3

2x2x722再由结果3，取刘徽可能得到的结果π=3.1416，因为22/7更接近

7322x3.1416得到x=16.09…，取x=16，即有密率3.1416，所以由17x322x355。

17x113

对于其他各种工农机械装置，祖冲之也多有涉猎，据说建树颇丰，但本人不甚了解，不再多说。

总之，我国人民在千百年的长时期中，已积累了不少科学成果，祖冲之就在前人创造的基础上做出了他的成绩。他认真学习，刻苦钻研，不迷信古人，不畏惧守旧势力，不怕斗争的精神是值得后人学习的。为了纪念这位伟大的科学家，1967年，国际天文学家联合会把月球上的一座环形山命名为“祖冲之环形山”，将小行星1888命名为“祖冲之星”。

参考文献：

[1] 关增建，中国古代计量史上的祖冲之，中国计量，2004年 12期

[2] 尤明庆，割圆术确定圆周率方法的改进，安阳师范学院学报，2003年3月 [3] 曲安京，祖冲之是如何得到圆周率π≈355／113的，自然辩证法通讯，2002年3月