关于用割圆术推导圆周率的计算公式的方法_割圆术怎么算出圆周率

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关于用割圆术推导 圆周率的计算公式的方法

周家军

（家庭地址：广西陆川县良田镇冯杏村22队，邮编：537717）（目前所在地：广西柳州市，电子邮箱：zhoujiajun198204@126.com）

摘要：圆周率的计算是有据可依的，它的计算公式在数学上可以推导出来。利用割圆术，可以推导出圆周率的计算公式。

关键词：割圆术；直径分割；半径分割；圆心角。

1、绪言

利用割圆术，可以推导出圆周率的计算公式。

2、用外切圆分割正多边形

假设有一个圆，半径为R，圆心为O，用n根线段（直径）将其均匀分割，如图所示。将各端点连接起来，那么它就是一个有2n个偶数边的正多边形。由此可见，此圆周是正多形的外切圆。

假若组成正多边形的一个三角形为ΔAOB，圆心角为α ,设AB=S，正多边形的周长为L，依题意，有：

OA=OB=R 正多边形的周长L为： L=2*n*S 圆心角α和分割圆的线段（直径）n的关系为：

360180 2nn根据三角函数，可以列出正多边形的边长S和圆周半径R的关系式，为：

S2=R2+R2-2*R*R*cos（α）

SR*2*(1cos)

2.1、圆周率以正多边形的割边数n为变量的计算形式

如果分割圆的线段（直径）n越多，圆周就被分割得越细，组成的正多边形的边就越多。那么正多边形的周长就越接近于圆周的周长，因此，依此就可推导出圆周率的计算公式，为：

L2R2nS2R

2nR2*(1cos)2R180n*2*(1cos)n2.2、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式 若以圆心角α为变量，也可得到圆周率的另一种计算公式。圆心角α值越小，分割圆的直径数n就越多，圆就被分割得越细，组成正多边形的边就越多，正多边形的周长就越接近于圆的周长。因此，依题意有：

将n=180代入上式，可得：

L2R2nS2R 1802**R*2*(1cos)2R180*2*(1cos)

3、用外切圆分割正多边形计算圆周率的另一种方式 过O点作AB的垂线OD，如图所示：

在ΔAOD中，依题意有： OA=R ∠AOD= AD=

根据三角函数，有如下的关系式：

2S=R*sin()22S=2*R*sin()

2S22AD=R*sin()正多边形的周长L为： L=2*n*S =2*180 * 2*R*sin()

23.1、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式 圆周率的计算公式为：

L2R1802**2*R*sin2 2R360*sin23.2、圆周率以正多边形的割边数n为变量的计算形式 若要以线段（直径）n为变量，将a =L2R180代入上式，即可得 n360*sin2180

360*sinn2180n902*n*sinn4、用内切圆分割正多边形

在上面的圆周率推导中，是以正多边形的外切圆来进行的。也可以以正多边形的内切圆来推导。用n根线段（直径）将圆周均匀分割，在端点处作该线段的垂线，各垂线所形成的图形就是一个正多边形，圆圈就是正多边形的内切圆。如下图所示：

假设组成正多边形的一个三角形为ΔAOB，垂足点为D。边长AB=S，正多边形的周长为L，圆心角为α。依题意，有：

OD=R α的大小和分割的线段（直径）n有关联，n越大，正多边形的边就越多，α就越小；反之，意然。它们的关系式如下：

360180 2nn在ΔOAD中，根据三角函数关系，可列出如下关系式： AD= ∠AOD=

2S= R* tg()22S= 2*R* tg()

22S2AD=OD*tg()正多边形的周长L为： L=2*n*S

=2*180* 2*R* tg()

24.1、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式

如果分割圆的线段（直径）n越多，圆周就被分割得越细，组成的正多边形的边就越多。那么正多边形的周长就越接近于圆的周长，因此，依此就可得出圆周率的计算公式，为：

L2R1802**2*R*tg2 2R360*tg24.2、圆周率以正多边形的割边数n为变量的计算形式 将180代入上式，可得到以线段（直径）n为变量的另一种形式n的计算式子：

360*tg2180360*tgn2 180n902*n*tgn5、圆周率的取值及祖冲之密率证明 将以上推导的圆周率的计算公式整理如下：

n*2*(1cos180)1 n○

2*n*sin90 2 n902*n*tg 3

n○○或：

180*2*(1cos)360*sin ○4

2 5 360*tg○

2 6 ○公式○1和○

4、○2和○

5、○3和○6是等价的，可以相互转换，转换因子为180。n（用公式计算圆周率时，理论分析上，n只能取正整数，a为能被360整除并且结果为偶数的值，这样，才能和题意所说的条件相符合，也只有这样，计算出的圆周率值才能越准确。）

以上是用直径分割圆周来推导圆周率计算公式，也可以用半径来分割圆周，推导出圆周率的计算式子。在此就不一一叙述了，有兴趣的朋友可以做一做。

大概在2000年或2001年，我就推导出这些圆周率计算公式。我曾经将公式给我的数学老师（梁春崇先生）看，他试图用洛必达法则来证明，因进入一个循环，未果。

历史上，祖冲之算出了圆周率在3.1415926和3.1415927之间。

22，这是可以证明的。在以上有a的式子里，将721.97722a=7代入公式，在内切圆中，Π≈≈,在外切圆中，Π

77他还得出圆的密率为

≈22.01822180≈。由此可知，祖冲之用了n==25.7≈26，用了26根777棍子（直径）去分割圆，才算出了圆周的这个密率。

如果将Π=3.1415926代入○1式，整理后，得： 2*n2-2*n2*cos

180-3.1415926*3.1415926=0 n这个式子我不知道怎样解，如果哪位朋友如果知道解法，麻烦就请解一下，将n值求出来，就可知道祖冲之当时用了多少根棍子去分割圆，才算出了这个圆周率。不过，当我用数字代入n值后计算时，我发现，只有当n=5000时，派=3.14159260，也就是说，用了5000根棍子（直径）去分割圆周。

6、圆周率的其他计算形式 当用*1360（k为任意正数）代入上面的公式，可得到圆周率kn的另一种计算公式。这个公式依然可以计算出圆周率的值。

比如说：当k=1时，*代入○1式得

n*2*(1cos360180)n180)3601360360，代入上式： 1nn*2*(1cos360*2*(1cos)2代入○2式得

2*n*sin90n36090 2**sin360720*sin4代入○5式得

360*sin2360360*sinn2 360n180n*sinn（这就是用半径分割圆周推导的圆周率的计算公式）

用以上式子计算时，要记注n和a的取值范围，n→∞，而a→0，并且，n要取整数，a要取能被360整除的数，这样，计算出来的圆周率就越准确。

***完***