小五数学第15讲：牛吃草(教师版)由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“牛吃草问题教师版”。
第十五讲
牛吃草问题
牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。“一堆草可供10头牛吃3天，供6头牛吃几天？”这题很简单，用3×10÷6=5（天），如果把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了。因为草每天走在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。
解题思路培养：解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。正确计算草地上原有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。
掌握四个基本：公式解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰
假设定一头牛一天吃草量为“1”
1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；
2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`
3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
1.牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周。如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？
答案：12周解析：27×6=16223×9=207207-162=4545/(9-6)=15每周生长数 162-15×6=72(原有量)72/(21-15)=12周2.有一口水井，如果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。现在用水桶吊水，如果每分吊4桶，则15分钟能吊干，如果每分钟吊8桶，则7分吊干。现在需要5分钟吊干，每分钟应吊多少桶水？
答案：11桶
解析：4×15=608×7=5660-56=44/(15-7)=0.5(每分钟涌量)60-15×0、5=52、5（原有水量）
52、5+/(5×0.5)/5=11桶
3.有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？
答案：49人
解析：17×30=51019×24=456510-456=5454/(30-24)=9每天生长量 510-30×9=240原有草量240+6×9=294294/6=49人
4.有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？
答案：4人
解析：6×4=244×5=2024-20=44/(5-4)=4每天漏掉数 24+4×4=40原有数
这桶酒每天漏掉的酒可供4人喝一天
5.一水库存水量一定，河水均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要6天抽干，需要多少台同样的抽水机？
答案：12台
解析：5×20=1006×15=90100-90=1010/（20-15）=2每天入库数 100-20×2=60原有库存数60+2×6=7272/6=12台
6.自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小红要从扶梯上楼，已知小明每分钟走20梯级，小红每分钟走14梯级，结果小明4分钟到达楼上，小红用5分钟到达楼上，求扶梯共有多少级？
答案：120 解析：20×4=8014×5=7080-70=1010/（5-4）=10每分钟减少数 80+4×10=120原有数70+5×10=120
A
1.牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15 头牛吃10天。问：这片牧草可供25头牛吃多少天？ 答案：5天
解析：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的生长量：（200-150）÷（20-10）=5份10×20=200份„„原草量+20天的生长量 原草量：200-20×5=100 或150-10×5=100份15×10=150份„„原草量+10天的生长量
100÷（25-5）=5天
2.牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？
解析：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的生长量：（180-150）÷（20-10）=3份
9×20=180份„„原草量+20天的生长量 原草量：180-20×3=120份 或150-10×3=120份 15×10=150份„„原草量+10天的生长量 120÷（18-3）=8天
3.由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块 草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？ 解析：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的减少量：（100-90）÷（6-5）=10份
20×5=100份„„原草量-5天的减少量 原草量：100+5×10=150 或90+6×10=150份 15×6=90份„„原草量-6天的减少量（150-10×10）÷10=5头
4.由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供30头牛吃8天，可供25头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？
解析：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的减少量：（240-225）÷（9-8）=15份
30×8=240份„„原草量-8天的减少量 原草量：240+8×15=360份或220+9×15=360份 25×9=225份„„原草量-9天的减少量 360÷（21+15）=10天
5.自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？
解析：男孩：20×5 =100（级）自动扶梯的级数-5分钟减少的级数 女孩;15×6=90（级）自动扶梯的级数-6分钟减少的级数 每分钟减少的级数=(20×5-15×6)÷(6-5)=10(级)自动扶梯的级数=20×5+5×10=150（级）
B 6.两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问该扶梯共有多少级？
解析：3×100=300自动扶梯级数+100秒新增的级数 2×300=600自动扶梯级数+300秒新增的级数
每秒新增的级数：（2×300-3×100）÷（300-100）=1.5（级）自动扶梯级数=3×100-100×1.5=150（级）
7.有一片牧场，操每天都在匀速生长（每天的增长量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完草，如果放牧21头牛，则8天吃完草，设每头牛每天的吃草量相等，问：要使草永远吃不完，最多只能放牧几头牛？ 解析：假设1头1天吃1个单位 24*6=144 21*8=168 168-144=24 每天长的草可供24/2=12头牛吃 最多只能放12头牛
8.有一片草地，草每天生长的速度相同。这片草地可供5头牛吃40天，或6供头牛吃30天。如果4头牛吃了30天后，又增加2头牛一起吃，这片草地还可以再吃几天？ 解析：假设1头1天吃1个单位 5*40=200；6*30=180 200-180=20 每天长的草:20/(40-30)=2 原有草：200-2*40=120 4*30=120，30*2=60 60/4=15天
9.假设地球上新增长资源的增长速度是一定的，照此推算，地球上的资源可供110亿人生活90年，或可供90亿人生活210年，为了人类不断繁衍，那么地球最多可以养活多少亿人？ 解析：假设1亿人头1天吃1个单位 110*90=9900；90*210=18900 18900-9900=9000 9000/(210-90)=75 10.两只蜗牛由于耐不住阳光照射，从井顶走向井底，白天往下走，一只蜗牛一个白天能走20分米，另一只只能走15分米；黑夜里往下滑，两只蜗牛下滑速度相同，结果一只蜗牛5昼夜到达井底，另一只却恰好用了6昼夜。问井深是多少？
解析：20×5=10015*6=90100-90=1010/(6-5)=10黒夜下滑数 100+5×10=15015×6+10×6=150
C
11.李村组织农民抗旱，从一个有地下泉的池塘担水浇地。如果50人担水，20小时可把池水担完。如果70人担水，10小时可把池水担完。现有130人担水，几小时可把池水担完？
解析：50×20=100070×10=7001000-700=300300/(20-10)=30每小时增加1000-30×20=400原有
400/(130-30)=4小时 12.一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？
解析：这片草地上的草的数量每天都在变化，解题的关键应找到不变量——即原来的草的数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到是匀速生长，因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。
假设1头牛一周吃的草的数量为1份，那么27头牛6周需要吃27×6=162（份），此时新草与原有的草均被吃完；23头牛9周需吃23×9=207（份），此时新草与原有的草也均被吃完。而162份是原有的草的数量与6周新长出的草的数量的总和；207份是原有的草的数量与9周新长出的草的数量的总和，因此每周新长出的草的份数为：（207-162）÷（9-6）=15（份），所以，原有草的数量为：162-15×6=72（份）。这片草地每周新长草15份相当于可安排15头牛专吃新长出来的草，于是这片草地可供21 头牛吃72÷（21-15）＝12（周）
13.一块1000平方米的牧场能让12头牛吃16个星期，或让18头牛吃8个星期，那么一块4000平方米的牧场6个星期能养活多少头牛？
解析：12×16-18×8=192-144=4848/(16-8)=6每星期生长数 192-16×6==96原有数96+6×6=132132/6=2222×4=88头
14.有一只船有一个漏洞，水用均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果用12个人淘水，3小时可以淘完。如果只有5个人淘水，要10小时才能淘完。现在要想2小时淘完，需要多少人？
解析：12×3=365×10=5050-36=1414/(10-3)=2每小时增加数 36-3×2=30原有30+2×2=3434/2=17人
15.有一个水井，水不断由泉涌出，井满则溢出。若用4台抽水机，15小时可把井水抽干。若用8台抽水机，7小时可把井水抽干。现在要用几台抽水机，能5小时把井水抽干？
解析：4×15=608×7=5660-56=44/(15-7)=0.560-15×0.5=52.552.5+5×0.5=5555/5=11台
1.一片草地，每天都匀速长出青草。如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天吃完。那么可供19头牛吃几天？
答案：12天
解析：6天时共有草：24×6＝144 10天时共有草：20×10＝200 草每天生长的速度为：（200－144）÷（10－6）＝14 原有草量：144－6×14＝60 可供19头牛： 60÷（19－14）＝12（天）
2.牧场有一片青草，每天生成速度相同。现在这片牧场可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天，如果一头牛一天吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？
解析：思路，把羊转化为牛
4羊＝1牛，“也可以供80只羊吃12天”相当于“20头牛吃12天”
现在是“10头牛与60只羊一起吃这一片草”相当于“10＋60÷4＝25头牛吃草” [16-x]*20=[20-x]*12=[25-x]*y x=10
y=8 3.某牧场上长满牧草，每天匀速生长,这片牧草供17头牛吃30天,19头牛吃24天,现有一群牛吃了6天,主人卖掉了4头牛,余下的牛吃了两天后刚好把草吃完,问这群牛原有几头? 解析：设原有Y头，x还是“剪草的” [17-x]*30=[19-x]*24=[y-x]*6+[y-4-x]*2 注意：剩下的2天已经卖掉了4头牛，要分开计算（y-x-4）*（6+2），这样列式就错了 x=9 y=40 4.某市水库水量的增长速度是一定的，可供全市12万人使用20年，在迁入3万人之后，只能供全市人民使用15年，市政府号召大家节约用水，希望将水库的使用寿命延长至30年，那么居民平均需要节约用水量的比例是多少?()A.2/5 B.2/7 C.1/3 D.1/4 答案：A
解析：
[12-x]*20=[15-x]*15=[y-x]*30 x=3
y=9 15-9=6 即多出6万人，这6万人要用15万人的6/15=2/5 5.有一个水池，池底有一个出水口，用3台抽水机24小时可将水抽完，用9台抽水机12小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间将水漏完？
解析：（3-X）*24=（9-X）*12 得X=-3(不要理会负数，按正3理解好了)带入X到上式，（（3+3）*24）/X=48所以是48
1.旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了 求增加人数的速度还有原来的人数
解析：设一个检票口一分钟一个人
1个检票口30分钟30个人
2个检票口10分钟20个人
(30-20)÷(30-10)=0.5个人
原有1×30-30×0.5=15人
或2×10-10×0.5=15人
2.有三块草地，面积分别是5，15，24亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？
解析：这是一道是比较复杂的牛吃草问题。
把每头牛每天吃的草看作1份。
因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份
所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份
因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份
所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份
所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份
所以，每亩面积每天长24÷15＝1.6份
所以，每亩原有草量60－30×1.6＝12份
第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12＝288份
新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80＝3.6头牛
所以，一共需要38.4＋3.6＝42头牛来吃。
两种解法：
解法一：
设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10*30/5=60；每亩45天的总草量为：28*45/15=84那么每亩每天的新生长草量为(84-60)/(45-30)=1.6每亩原有草量为60-1.6*30=12，那么24亩原有草量为12*24=288，24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072，24亩80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42(头)解法二：
10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃15亩，可以推出15亩每天新长草量(28×45-30×30)/(45-30)=24；15亩原有草量：1260-24×45=180；15亩80天所需牛180/80+24(头)24亩需牛：(180/80+24)*(24/15)=42头
3.一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？
解析：这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：（1）求每小时进水量
因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量 10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量
所以，（10－3）小时内的进水量为
1×5×10－1×12×3＝14 因此，每小时的进水量为
14÷（10－3）＝2（2）求淘水前原有水量
原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30（3）求17人几小时淘完
17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是 30÷（17－2）＝2（小时）答：17人2小时可以淘完水。
4.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天。那么它可供21头牛吃几天？ 解析：将它想象成一个非常理想化的数学模型：假设27头牛中有X头是“剪草工”，这X头牛只负责吃“每天新长出的草，并且把它们吃完”，这样以来草场相当于不长草，永远维持原来的草量，而剩下的(27－X)头牛是真正的“顾客”，它们负责把草场原来的草吃完。（请慢慢理解，这是关键）
设每天新增加草量恰可供X头牛吃一天,21牛可吃Y天（后面所有X均为此意）可供27头牛吃6天，列式:（27－X）·6 注：（27－X）头牛6天把草场吃完 可供23头牛吃9天，列式:（23－X）·9 注：（23－X）头牛9天把草场吃完 可供21头牛吃几天？列式：（21－X）·Y 注：（21－X）头牛Y天把草场吃完 因为草场草量已被“清洁工”修理过，总草量相同，所以，联立上面1、2、3（27－X）·6＝（23－X）·9＝（21－X）·Y（27－X）·6＝（23－X）·9 【1】（23－X）·9＝（21－X）·Y 【2】
解这个方程组，得 X＝15（头）
Y＝12（天）
5.有三块草地，面积分别为5，6和8公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天．问：第三块草地可供19头牛吃多少天？
解析：现在是三块面积不同的草地．为了解决这个问题，需要将三块草地的面积统一起来．（这是面积不同时得解题关键）求【5，6，8】得最小公倍数为1201、因为5公顷草地可供11头牛吃10天，120÷5＝24，所以120公顷草地可供11*24＝264(头)牛吃10天．
2、因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120÷6＝20，所以120公顷草地可供12*20＝240(头)牛吃14天．
3、120÷8＝15，问题变为：120公顷草地可供19*15＝285(头)牛吃几天？ 这样一来，例2就转化为例1，同理可得：
（264－X）·10＝（240－X）·14＝（285－X）·Y（264－X）·10＝（240－X）·14
【1】（240－X）·14＝（285－X）·Y
【2】 解方程组：X=180（头）
Y=8（天）典型例题“牛吃草”已介绍完毕。
6.有三块草地，面积分别为5，6，和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草荐地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛吃多少天？
解析：前几天我们接触的是在同一块草地上，同一个水池中，现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。即
[5，6，8]=120 这样，第一块5公顷可供11头牛吃10天，120÷5=24，变为120公顷草地可供11×24=264（头）牛吃10天
第二块6公顷可供12头牛吃14天，120÷6=20，变为120公顷草地可供12×20=240（头）牛吃14天。
120÷8=15。问题变成：120公顷草地可供19×15=285（头）牛吃几天？ 因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为：
一块草地匀速生长，可供264头牛吃10天或供240头牛吃14天，那么可供285头牛齿及天？即 每天新长出的草：（240×14—264×10）÷（14—10）=180（份）草地原有草：（264—180）×10=840（份）
可供285头牛吃的时间：840÷（285—180）=8（天）答：第三块草地可供19头牛吃8天。
7.一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天那么可供18头牛吃几天？
答案：15天．
解析：设1头牛1天吃的草为1份。则每天新生的草量是（20×10-24×6）÷(10-6)=14份，原来的草量是（24-14）×6=60份。可供18头牛吃60÷（18-14）=15 8.由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧
场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？ 答案：8天
解析：设一头牛一天吃的草量为一份。牧场每天减少的草量：（20×5-16×6）÷（6-5）=4份，原来的草量：（20+4）× 5=120份，可供11头牛吃120÷(11+4)=8天。
