分母为多项式的分式不等式的证法_分式不等式的求法

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分母为多项式的分式不等式的证法

叶挺彪

分母为多项式的轮换对称不等式，其证明若找不到门路，往往很难。其原因是分母为多项式，难以参与通分运算。这就启发我们使分母转化为单项式，采用换元法。例１ 已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+，求证：

abc3bccaab2

尝试 为使分母成为单项式，我们用新的三个字母分别代换不等式中的三个分母，将原命题进行等价转化。

点拨 令ｂ＋ｃ＝Ａ、ｃ＋ａ＝Ｂ、ａ＋ｂ＝Ｃ，记

s＝ａ＋ｂ＋ｃ，则s＝(A+B+C)/2。

于是原不等式可化为：

即(A+B+C)(s-As-Bs-C3++ ABC2111++)≥9ABC

均值不等式分别用于上式左边的两个因式，即得结论。

例２ 若0＜ａ

1、ａ

2、…、ａn＜１，ａ1＋ａ2＋…＋ａn＝ａ，证明：a1aana +2++n1-a11-a21-ann-a

分析 设1-ａi＝Ａi(i=1,2,…,n)、Ａ1＋Ａ2＋…＋Ａn＝Ａ，则ｎ－ａ＝Ａ 于是原问题可转化为：

1-An1-A11-A2n(n-A)+++A1A2AnA

2即（Ａ1＋Ａ2＋…＋Ａn）(1+1++1)≥n A1A2An

上式可用均值不等式易证。

由此可见，用换元法证分母是多项式的分式不等式，其证法简单、明快.【类题】

１、已知ａ、ｂ、ｃ都是正数，证明：

a2b2c2a+b+c ++b+cc+aa+b2

２、已知正数ａ1，ａ2，…，ａn（ｎ≥２）满足：

ａ1＋ａ2＋…＋ａn＝１，求证：

aa1an +2++n2-a12-a22-an2n-13、设ｘ

1、ｘ

2、…、ｘn都是正数,且ｘ1＋x2＋…＋ｘn＝１,求证：

222xnx1x21 +++1-x11-x21-xnn-1