分式运算技巧(11月29日选修)_分式的混合运算技巧

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分式运算技巧

分式运算,一要准确,二要迅速,其中起着关键作用的就是通分.但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，对于分式的通分,要讲究技巧.下面介绍几种常用的通分技巧.一、逐步通分法

例1 计算111 21x1x1x

分析：此题若采用将各项一起通分后相加的方法，计算量很大．注意到前后分母之间存 在着平方差关系，可逐步通分达到目的．

解：原式=224= 1x21x21x4

评注：若一次通分，计算量太大，利用分母间的递进关系，逐步通分，避免了复杂的计算．依次通分构成平方差公式，采用逐步通分，则可使问题简单化。

二、整体通分法

a2

a1 例2 计算a1

分析题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求到可以做为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些.a2(a1)(a1)a2a211解：原式= a1a1a1a1

评注：此题是一个分式与多项式的和，若把整个多项式看作分母为1的分式，再通分相 加，使得问题的解法更简便．

三、分裂整数法

例3.计算：x2x3x5x4 x1x2x4x3

分析如果几个分母不同通分时可使用分裂整数法，对分子降次后再通分.解:原式x11x21x41x31x1x2x4x3

1111(1)(1)(1)(1)x1x2x4x3

1111x1x2x4x3

x2(x1)x3(x4)(x1)(x2)(x4)(x3)11(x1)(x2)(x3)(x4)



(x3)(x4)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x4)x7x12x3x2

(x1)(x2)(x3)(x4)

10x10(x1)(x2)(x3)(x4)22 

评注：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。

四、裂项相消法

例4计算111 x1(x1)(x2)(x2)(x3)

分析 我们看到题目中每一个分式的分母是两个因数之积，而分子又是一个定值时，可将每一个分式先拆成两项之差，前后相约后再通分.解：原式=111111= x1x2x1x3x2x3

评注：本题若采用通分相加的方法，将使问题变的十分复杂，注意到分母中各因式的关 系，再逆用公式111，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。在解某aa1a(a1)

些分式方程中，也可使用拆项法。

五.见繁化简法

例5.计算：2x2x23x 222x3x2xx6x4x3

分析分式加减时，如果分母不同要先分解因式，再找到公分母，把每个分式的分母都化为公分母的形式 解：原式2(x1)x2x3(x2)(x1)(x3)(x2)(x3)(x1)

211x2x3x1 2(x24x3)(x23x2)(x25x6)(x1)(x2)(x3)

2(x1)(x2)(x3)

评注：若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分，可使运算简便。在分式运算中，应根据分式的具体特点，灵活机动，活用方法。方能起到事半功倍的效率。

六、挖掘隐含条件，巧妙求值

x25x6例6若x90，则=___________。x32

解：∵x290，∴x3

但考虑到分式的分母不为0，故x=3 所以，原式(x2)(x3)0 x3

说明：根据题目特点，挖掘题中的隐含条件，整体考虑解决方案是解决本类题目的关键。

七、巧用特值法求值

例7已知2x3y4zxyz=_____________。，则4563z

解：此题可直接令x=4，y=5，z=6，代入得： 原式243546 36

17 18

说明：根据题目特点，给相关的字母赋予特定的数值，可简化求解过程。

八、巧设参数（辅助未知数）求值

例8已知实数x、y满足x:y=1:2，则3xy__________。xy

解：设xy3k2k1k，则xk，y2k，故原式 12k2k3

说明：在解答有关含有比例式的题目时，设参数（辅助未知数）求解是一种常用的方法。

九、整体代入

例9若113x5xy3y=5，求的值．xyx3xyy

113(xy)5xy=5变形，得x-y=-5xy,再将原式变形为，把x-y=-5xyxy(xy)3xy分析：将

代入，即可求出其值．

解：因为11=5，所以x-y=-5xy.xy

3(xy)5xy3(5xy)5xy10xy5===.5xy3xy8xy4(xy)3xy所以原式=

说明：在已知条件等式的求值问题中，把已知条件变形转化后，通过整体代入求值，可避免由局部运算所带来的麻烦．

十、倒数法

1a2

例2已知a+=5．则4=__________.2aaa1

a2

分析：若先求出a的值再代入求值，显然现在解不出．如果将4的分子、分aa21

1a4a212母颠倒过来，即求=a+1+的值，再进一步求原式的值就简单很多． a2a2

解：因为a+

所以（a+1=5，a121）=25，a2+2=23.aa

1a4a212所以=a+1+=24，a2a2

1a2

.所以4=224aa1

说明：利用x和1互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知式的联系，使一些分式x

求值问题思路自然，解题过程简洁．

十一、主元法

x2y2z2

例11已知xyz≠0,且3x－4y－z=0,2x＋y－8z=0,求的值.xyyz2zx

解：将z看作已知数，把3x－4y－z=0与2x＋y－8z=0联立，得3x－4y－z=0,2x＋y－8z=0.解得x=3z,y=2z.14z2(3z)2(2z)2z2

1.所以，原式==2(3z)(2z)(2z)z2z(3z)14z

说明：当已知条件等式中含有多元（未知数）时（一般三元），可视其中两个为主元，另一个为常量，解出关于主元的方程组后代入求值，可使问题简化．

十二、特殊值法

例十二已知abc=1,则abc＋＋=_________.aba1bcb1cac1

分析：由已知条件无法求出a、b、c的值，可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入求值．

解：令a=1，b=1，c=1，则

原式=111111++=++=1.111111111111333

说明：在已知条件的取值范围内取一些特殊值代入求值，可准确、迅速地求出结果．

练习题：

11248248 x1x1x1x1x1

1111112.计算： 1223344567200720081.计算

答案：1.162007；2.；2008x161

分式方程习题

23x163（2）21（3）2 x3xx22xx1x14212xx10（5）2（6）21（4）2x1x1x2x4x1x1

1x1x52（7）4（8）2x332xx2x2 ab的分式方程，使它的解是x0，2.请选择一组a,b的值，写出一个关于x的形如x21．解方程：（1）

这样的分式方程可以是______________.3．若分式3x5510时，则m． 无意义，当x13m2x2mx

b2b236a2

2，则的值是。4.若23a9a