精算数学读书笔记（全文）_唤醒数学脑读书笔记

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精算数学读书笔记

————数学班 王秋阳 09080124

摘要：利用生命函数，以预定利率和预定死亡率为基础计算定期寿险、终身寿险、延期寿险、生存保险、两全保险的精算现值。

关键字：生命函数、剩余寿命、生命表、精算现值、定期寿险、终身寿险、延期寿险、生存保险、两全保险

一、生命函数

1、初生婴儿未来寿命X的分布函数FxPrXx x0

生存函数SxPrXx

初生婴儿在x至z之间死亡的概率PrxXzSxSz

tqxPr(T(X)t)pr(xXxtXx)

s(x)s(xt)s(x)

t3、剩余寿命F（x）：分布函数 pxPr(T(x)t)Pr(XxtXt)

s(xt)

s(x)生存函数

px：x岁的人至少能活到x+1岁的概率

qx：x岁的人将在1年内去世的概率

q：x岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概率 tux

整值剩余寿命T(x)：K(X)k,kT(x)k1,k0,1,

Pr(K(X)k)Pr(kT(x)k1)

概率函数PrTxk1PrTxkk1qxkqxkpxk1px kpxqxkkqx

死力xs(x)f(x)ln[s(x)] s(x)s(x)

x

s(x)exp{sds}

死力与生存函数的关系

t0xt pxexp{sds}

x

x

死力与密度函数的关系fxxsxxexpsds

0

二、生命表

l0个新生生命能生存到年龄X的期望个数 lxl0s(x)

l0个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望个数

n

dxlxlxnlxnqx

xt

dxlxlx1lxqx

x

l0个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：tLx

lydy



x

l0个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总数：Txlydy

平均余命：ex

l

o

xk

/lxexE[K(x)]kk|qxk1px

Txo

完全平均余命： exexE[T(x)]ttpxxtdttpxdt

00lx

三、死亡即付的人寿保险

精算现值的厘定：（假设保险金额为1元）

vtvt,t01、n年定期寿险：基本函数关系

1,tn

bt

0,tn

vt,tn

ztbtvt

0,tn

A

厘定

1x:n

E(zt)ztfT(t)dt

n

vttpxxtdtettpxxtdt

nn

方差公式Var(zt)E(zt)E(zt)Var(zt)x:(x:)

2、终身寿险：基础函数关系





n

e2tfT(t)dtE(zt)2

vtvt,t0bt1,t0

ztbtvtvt,t0

厘定

AxE(zt)ztfT(t)dt

vtpxxtdte



t



t

t

pxxtdt

方差公式Var(zt)E(z)E(zt)Var(zt)x(x)

2t





e2tfT(t)dtE(zt)2

tt3、延期终身寿险：厘定 m|xmvfTtdt mefTtdtnn4、n年定期生存保险Ax:nE(zt)vnpxenpx



5、n年定期两全保险x:nx:n

A

1x:n

vttpxxtdtvnnpx

n

四、死亡年末未给付的人寿保险（原理同上）

五、死亡即付的人寿保险与死亡年末未给付的人寿保险的精算现值的关系

UDD假设下死亡即刻赔付净趸缴纯保费是死亡年末赔付净趸缴纯保费的i



倍，即

Ax

i



Ax