大连理工大学数学分析考试题_大连理工大学数学分析

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姓名：__________大连理工大学

学号：__________ 课 程 名 称： 数学分析试卷： A考试形式：闭卷 学院（系）：_______授课院（系）：_数学___ 考试日期： 2006 年1月 5 日试卷共 ５ 页

_____ 级_____ 班

装

订

线

一．简答题（20分）．下列命题如果正确，请给予证明；如果错误，请给出反例． １． 集合xsinx|x0,1有界．２．如果limnan2，则limnan2．３．如果fx在0,2上连续，则fx在0,2上有界．1

４．如果函数fx在点x0可导，则fx在点x0一定连续．

二．证明下列命题（１２分）．

ynA0，１．利用极限定义证明：如果lim则存在自然数N，当nN时，yn0． n

２．设函数fx在点x0的邻域Nx0,中有定义，在点x0可导且有

fxfx0,xNx0,,证明：fx00．

三．计算下列各题（２０分）．

１． 设fxcos3(sinx)，求fx．

２．设fx,gx可导，且fx0,gx0，yxgxfx，求dy．

xaaxa0．３．计算极限 limxaxa

４．写出函数fxexsinx的马克劳林（Ｍａｃｌａｕｒｉｎ）公式到５阶． 2

四．完成下列各题（２４分）．

１．叙述函数fx在点a以实数A为极限的定义，并证明limx1

x2,x1 ２．求A,B使函数fx，在x1处可导 AxB,x12x35． 2x3

３．叙述函数fx在区间I上一致连续的否定定义，并证明函数fxcos在0,1上不一致连续．

gx存在，求证gx在2,上一致连续． ４．设函数gx在2,上连续，且xlim1x

五．证明下列各题（２４分）．

１．设fx在a,b上连续，且limfxA0,limfxB0，证明存在a,b使xaxb

得f0.２．设函数fx在[a,b]上连续，在a,b内有二阶导数，fafb0, 且存在ca,b使得fc0，证明存在a,b使得f0.３．证明不等式：ln(1x)x(x1).４．设函数fx在[0,1]上连续，在0,1内可导，f00,并满足fxfx,x0,1, 证明：fx0(x0,1)．