与正切有关的公式及应用（材料）由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“正切和公式”。
与正切有关的公式及应用 与正切有关的公式及应用
一、公式：
1、tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)；tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)；其可以变形为：tanα+tanβ= tan(α+β)(1-tanαtanβ)；tanαtanβ=1-(tanα+tanβ)/ tan(α+β)
2、tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
3、sec²α=1+tan²α
4、tanα=sinα/cosα
5、sin2x=2tanx/(1+tan²x)，cos2x=(1-tan²x)/(1+tan²x)
注意：tan45°=1及sin²α+cos²α=1的运用；及分子分母同时除以cosnα的运用
二、应用范围或思维方式：
1、给定了有关tanα的值或求tanα的值
例
一、已知(1+tanα/(1-tanα)=5+2√6,求：(1-sin2α)/cos2α的值 解：思维一：(1-sin2α)/cos2α能否化成tanα的形式呢？
(1-sin2α)/cos2α=(sin²α+cos²α-2sinαcosα)/(cos²α-sin²α)=(cosα-sinα)²/[(cosα-sinα)(cosα+sinα)]=(cosα-sinα)/(cosα+sinα)=(1-tanα)/(1+tanα)=1/(5+2√6)= 5-2√6 思维二：由(1+tanα/(1-tanα)容易想到(tan45°+tanα/(1-tan45°tanα)=tan(45°+α)即：tan(45°+α)= 5+2√6,那么(1-sin2α)/cos2α否化成tan(45°+α)的形式呢？
(1-sin2α)/cos2α=[1+cos(90°+2α)]/sin(90°+2α)=1/ tan(45°+α)=1/(5+2√6)= 5-2√6
例
二、已知tanθ=1/2，求(sinθcosθ-1)/(2-sin²θ)和3sin²θ-4cos²θ+5 sinθcosθ的值
解：(sinθcosθ-1)/(2-sin²θ)和3sin²θ-4cos²θ能否化成tanθ的形式呢？(sinθcosθ-1)/(2-sin²θ)=(sinθcosθ-sin²θ-cos²θ)/(2sin²θ+2cos²θ-sin²θ)=(sinθcosθ-sin²θ-cos²θ)/(sin²θ+2cos²θ)=(tanθ-tan²θ-1)/(tan²θ+2)3sin²θ-4cos²θ+5 sinθcosθ=(3sin²θ-4cos²θ+5 sinθcosθ)/(sin²θ+cos²θ)=(3 tan²θ-4+5tanθ)/(tan²θ+1)练习：已知tanx=a，求：（3sinx+sin3x）/(3cosx+cos3x)的值
2、看见了(asinx+bcosx)/(asinx-bcosx)形式
例
一、已知非零实数a、b满足(asinπ/5+bcosπ/5)/(acosπ/5-bsinπ/5)=tan8π/15，求b/a的值 解：分子、分母同时除以cosπ/5：(atanπ/5+b)/(a-btanπ/5)=tan8π/15 故：atanπ/5+b=(a-btanπ/5)tan8π/15 故：b+btanπ/5 tan8π/15=a tan8π/15-atanπ/5 故：b/a=(tan8π/15-tanπ/5)/(1+tanπ/5 tan8π/15)=tanπ/3=√3 例
二、求（cos15°-sin15°）/(cos15°+sin15°)的值
解：（cos15°-sin15°）/(cos15°+sin15°)=（1-tan15°）/(1+tan15°)=（tan45°-tan15°）/(1+ tan45°tan15°)=tan30°=√3/3 练习：化简：(sin7°+cos15°sin8°)/(cos7°-sin15°sin8°)
3、看见了或隐含tanα±tanβ、tanαtanβ之类
例一：求（1+tan1°）(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)解：（1+tan1°）(1+tan44°)= 1+tan1°+tan44°+tan1°tan44° 又：tan45°=(tan1°+tan44°)/(1-tan1°tan44°)=1 即：tan1°+tan44°+tan1°tan44°=1
故：（1+tan1°）(1+tan44°)= 1+tan1°+tan44°+tan1°tan44°=2 故：（1+tan1°）(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)=2²² 例
二、求tan10°tan20°+tan10°tan60°+tan20tan60°的值 解：tan10°tan20°+tan10°tan60°+tan20°tan60° = tan10°tan20°+√3(tan10°+tan20°)
又：tan30°=(tan10°+tan20°)/(1-tan10°tan20°)= √3/3 故：tan10°+tan20°=√3/3-√3/3 tan10°tan20°
故：tan10°tan20°+tan10°tan60°+tan20°tan60°=√3/3 练习：
1、化简tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan(n-1)xtannx2、在△ABC中，求证：tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=13、已知△ABC三个内角A、B、C成等差数列，求tanA/2+tanC/2+√3 tanA/2tanC/2的值
4、化简：(√3-tan18°)/(1+√3tan18°)
4、求tanα/tanβ之类：
例一：若sin(α+β)=1/2，sin(α-β)=1/10，求tanα/tanβ 解：tanα/tanβ=sinαcosβ/sinβcosα 又：sin(α+β)/ sin(α-β)=5 故：sinαcosβ+cosαsinβ=5(sinαcosβ-cosαsinβ)展开后，不难了。
5、注意代换：如：β=(α+β)-α；2α-β=(α-β)+ α等
1、已知tan(α-β)=1/2,tanβ=-1/7, α、β∈（π/2,3π/2），求2α-β的值
2、已知3sinβ=sin(α+β)，求证：tan(α+β)=2tanα
3、已知sinβ=cos(α+β)sin，求证：tanβ=tanα/(1+2tan²α)
4、已知sin(α-β/2)=4/5，cos(α/2-β)=-12/13，且α-β/2和α/2-β分别为第二、第三象限角。求tan(α+β)/2的值
6、倍角或半角公式的灵活运用
1、求tanπ/8+cotπ/12
