演绎推理_王莫梅_演绎归纳类比推理

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演绎推理

王莫梅

演绎推理是指根据一般性的真命题导出特殊命题为真的推理，是一种必然性的推理.演绎推理按形式可分为四种：（1）假言推理；（2）关系推理；（3）三段论；（4）完全归纳推理.其中最常用的形式是三段论，他遵循的规则是“如果ab，bc，则ac”，ab是问题中的大前提，再由题意得到的bc是这个推理中的小前提，一般只要前提是正确的，它们共同推得的结论ac也是正确的.演绎推理是推理证明的主要形式，在高考题目中，证明题、逻辑推理题占有重要的地位；证明题分布面广，可能出在函数、不等式、三角、数列等不同的知识点中.一、典例分析

例1定义在实数集上的函数)y(fx)y2f(x)，对任意的x,yR，有f(x且(f，)xf(0)fy0.（1）求证：f(0)1；

（2）求证：yf(x)是偶函数.分析：证明抽象函数的性质（函数值、单调性、奇偶性等）常采用“赋值法”.证明：（1）令xy0,则有2f(0)2f2(0)，∵f(0)0，∴f(0)1.(2)令x0,则有f(y)f(y)2f(0)f(y)2f(y)，∴f(y)f(y),∴f(x)是偶函数.点评：抽象函数在函数部分中经常遇到，只要紧紧抓住函数中的单调性、奇偶性的定义的一般性理论，对符合特殊性质的函数变量赋予不同的值即可.例 2 已知an是各项均为正数的等差数列lga1、lga2、lga4成等差数列，又bn1a2n, n1，2，3，„.证明bn为等比数列.解析：在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成.大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省略，而采用某种简明的推理模式.证明：∵lga1、lga2、lga4成等差数列，2∴2lga2lga1lga4，则a2a1a4.设等差数列an的公差为d，则(a1d)2a1(a13d)，这样d2a1d，从而d(da1)0.若d0，则an为常数列，相应bn也是常数列，此时bn是首项为正数，公比为1的等比数列.若da10,则a2na1(21)d2dbn1a2n1d12nnn

2d12这时bn首项为b1，公比为的等比数列.综上知bn是等比数列.点评：要证明数列为等比数列，利用等比数列的定义这个大前提，再证明数列bn

满足定义即可.证明过程中使用了三段论、关系推理等规则。

二、变式训练

1.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意xR，有f(xT)Tf(x)成立.（1）函数f(x)x是否属于集合M？说明理由；

（2）设函数f(x)a(ao且,f(x)aM； xxa1的)图象与yx的图象有公共点，证明：

（3）若函数f(x)sinkxM ,求实数k的取值范围.解析：函数f(x)是否属于集合M，要看f(x)是否满足集合M的“定义”，学会紧扣定义解题。

[解]（1）对于非零常数T，f(xT)xT, Tf(x)Tx.因为对任意xR，xTTx不能恒成立，所以f(x)xM

（2）因为函数f(x)ax(ao,且a1)的图象与函数y=x的图象有公共点，yax

x所以方程组：有解，消去y得ax，yx

xT显然x0不是方程ax的解，所以存在非零常数T，使aT.于是对于f(x)ax有f(xT)axTaTaxTaxTf(x)故f(x)axM.（3）当k0时，f(x)0，显然f(x)0M

当k0时，因为f(x)sinkxM，所以存在非零常数T，对任意xR，有 f(xT)Tf(x)成立，即sin(kxkT)Tsinkx.因为k0，且xR，所以kxR，kxkTR，于是sinkx[1,1]，sin(kxkT)[1,1]，故要使sin(kxkT)Tsinkx成立，只有T=1，当T=1时，sin(kxkT)sinkx成立，则k2n,nZ.当T=－1时，sin(kxk)sinkx成立，即sin(kxk)sinkx成立，则k2n,nZ，即k2(n1), nZ.实数k的取值范围是k|kn,nZ.2.如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF//BC。2

（1）证明FO//平面CDE；

（2）

设BC1，证明EO平面CDF。

解析：（Ⅰ）证明：取CD中点M，连结OM.在矩形ABCD中，OM//1

2BC，又EF//1

2BC，则EF//OM，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.FO//EM

又FO平面CDE，EM平面CDE，∴FO∥平面CDE

（Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，CMDM,EM

CD且EM2D1

2BCEF。

∴平行四边形EFOM为菱形，∴EO⊥FM而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO.而FMCDM，所以EO⊥平面CDF。